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中考总复习六：和差倍分、平行与垂直
一、和差倍分问题
线段或角的和差倍分问题，一般是通过平移、轴对称或旋转等变换构造全等代换线段，最终转化为证明相等的问题。
 1．如图①，在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45 °,则有结论EF=BE+FD成立；
（1）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的
一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点
F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请写出它们之间的数量关系，并证明.
 
解：（1）结论EF= BE+FD成立. 
延长EB到G，使BG=DF，连接AG.
∵∠ABG=∠D=90°, AB=AD，
∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF且∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3= ∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF．
即EF=BE+BG=BE+FD．
（2）结论EF=BE+FD不成立，
应当是EF=BE-FD． 
在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF.∴AG=AF．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠3= ∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF
即EF=BE-BG=BE-FD．
此题可有如下变式：
2．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且 ，AP EF于点P.
(1)求证：AP=AB；
(2)若AB=5，求 的周长。
解：（1）将 绕点A按逆时针方向旋转 ，得
 ，
 ，即F、D、G在一条直线上.
 AE=AG，AF=AF， ，
 .
 ,
即AP=AB.
（2） ，EF=FG.
 的周长=CE+EF+CF=CE+FG+CF, DG=BE,
 的周长=CE+EF+CF =BC+DC=5 2 =10.
 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°,确定AD+AE与BC的关系
解: 有BC=AD+AE.
连结AC,过E作EF∥BC交AC于F点.
则可证 △AEF为等边三角形.
即 AE=EF及∠AEF=∠AFE=60°.
所以 ∠CFE=120°.
又 AD∥BC,∠B=60°,
故 ∠BAD=120°.
又 ∠DEC=60°,
所以 ∠AED=∠FEC.
在△ADE与△FCE中,
∠EAD=∠CFE,AE=EF,∠AED=∠FEC,
所以 △ADE≌△FCE. 所以 AD=FC.
则 BC=AD+AE.
 4．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD 与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
结论：AC=BD+CD．
证法一：延长BD至 ，使得D=DC．
∵DE平分∠BDC，∴∠1=∠2．
∵ED⊥AD，
∴∠ADC=90°+∠1，∠3=90°-∠2．
∵∠AD =180°-∠3=90°+∠2．
∴∠ADC=∠AD．
在△ADC和△AD中，
∴△ADC≌△AD（SAS）．
∴ AC=A．
∵ AB=AC，∴ AB= A．
∵∠ABD=60°，∴△AB是等边三角形．
∴ A =B，∴ AC =BD+CD．
证法二：延长CD至 ，使D=DB．
∵ED⊥AD，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°．
∵DE平分∠BDC，
∴∠1=∠2．
∴∠3=∠4．
在△ADB和△AD中，
∴ △ADB≌△AD（SAS）．
∴ AB=A，∠ABD=∠=60°．
∴ AC = A． ∴ △AC是等边三角形．
∴ AC = C． ∴ AC =BD+CD．
5．我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：___________．
（2）如图（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O．
求证： ，即四边形ABCD是等平方和四边形．
（3）如果将图(1)中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转 度（0°＜＜90°）后得到图(2)，那么四边形
ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由．
 
图（1） 图（2）
解：（1）菱形或正方形；
（2）证：∵AC⊥BD于点O,∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°．
∴
∴．
即四边形ABCD是等平方和四边形．
（3）解：四边形 ABCD是等平方和四边形.
证：原梯形记为 ，依题意旋转后得四边形ABCD，
连接AC、BD交于点 ，∵  ∥BC，
 ∴ ∽ ．
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∵ ，
∴∠AOC=∠DOB=180°-．
又∵，
∴△AOC∽△DOB.
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠4，
∴ ．
由（2）的结论得：．
即四边形ABCD是等平方和四边形．
二、位置关系的证明
位置关系的证明以线段的平行、垂直为主，对于这类问题的解决方法，大家也要注意总结归纳。比如证明垂直的方法除了利用角度推导外，还可以考虑勾股定理的逆定理、等腰三角形三线合一、三角形中一边中线等于这边一半等方法；平行证明除了利用同位角、内错角、同旁内角的关系外，还可利用中位线定理、对应线段成比例得出平行等方法。
 6．已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点．试确定线段AF与CF的位置关系．
解：AF⊥CF
[一]连BF，易证△ADF≌BCF（SAS）
∴∠DFA=∠CFB
∴∠BFA+∠CFB=∠BFA+∠DFA=90°
[二]连AC交BD于O，连OF
∴OF为△DBE的中位线
∴OF= BE=BD=AC.
7．在△ABC中，BM、CN分别是 、 的平分线，而 于E， 于F．
求证：EF//BC．
 证明：延长AF交BC于D，延长AE交BC于G
易证：△CAF≌△CFD
∴AF=FD
同理可证AE=EG
∴EF为△ADG的中位线
∴ EF//BC.
8．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形 和菱形 中，点 在同一条直线上， 是线段 的中点，连结 ．若 ，探究 与 的位置关系及 的值．
小聪同学的思路是：延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
 
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点 顺时针旋转，使菱形的对角线 恰好与菱形的边
 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生
变化？写出你的猜想并加以证明．
解：（1）线段与的位置关系是 ；  ．
 （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长交 于点，连结 ．
 是线段的中点，
 ．
由题意可知 ．
 ．
 ，
 ．
 ， ．
四边形是菱形，
 ， ．
由，
且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
可得 ．
 ．
四边形是菱形，
．
 ．
 ．
 ， ．
 ．
即 ．
 ， ，
 ， ．
 ．
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