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暑期练习—三角形、梯形的中位线
本周重点：
三角形、梯形中位线的应用
本周重点难点解析：
一、三角形和梯形的中位线
1. 三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理.
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
2．梯形的中位线
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
3．典型例题：
 1．如图所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
(1)求证：GH∥BC；
(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．
分析： 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而利用△ABC的三边长可求出GH的长度．
(1) 证明：
分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，
所以 △ABG≌△MBG(ASA)．
从而，G是AM的中点．同理可证 △ACH≌△NCH(ASA)，
从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．
(2) 解：
由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以
AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米，所以 BN=BC-CN=18-14=4(厘米)， MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
从而 MN=18-4-9=5(厘米)，
说明：
(1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分
线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，
则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边
的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．
(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或
∠B)的外角平分线”(如图1所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2所示)，其余条件不
变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．
 
2．如图所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．
求证：
分析： 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不等关系，为了产生 的线段，应考虑在含CD,AB的三角形中构造中位线，为此，取AD中点。
证明：取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，
所以
同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，
所以
在△EFG中，EF＞EG-FG． ③
由①，②，③
 3．如图所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．
求证：DE⊥AE．
分析：本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线；若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．
证明：取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以
 
因为AD=AB+CD，所以
从而 ∠1=∠2，∠3=∠4，
所以 ∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而∠AED=∠2+∠3=90°，
所以 DE⊥AE．
二、关于中点四边形的讨论
1. 中点四边形的定义：
如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边的中点，则称四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。
（1）“一般四边形”的中点四边形：
1．已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点；试猜想四边形EFGH的形状。
 猜想：四边形EFGH是平行四边形。
证明一：连结AC
∵在⊿ABC中，E、F分别为AB、BC的中点
∴EF∥AC,EF= AC
同理HG∥AC,HG=AC
∴EF∥HG且EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形。
证明二：连结BD
总结：通过一条对角线我们就可以确定中点四边形EFGH的形状了。
（2）“特殊四边形”的中点四边形：
思考：改变四边形ABCD的形状，结果会怎样？
利用计算机变换四边形ABCD形状，使四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形EFGH形状。
  
 
发现：中点四边形的形状有一般平行四边形或矩形、菱形和正方形。
2. 思考：决定中点四边形形状的主要因素是什么？
结论：决定中点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置。
  
规律：
（1）若四边形对角线互相垂直，则它的中点四边形为矩形；
（2）若四边形对角线相等，则它的中点四边形为菱形；
（3）若四边形对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形为正方形；
2．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD,E、F、M、N分别是CD、AB、AD、BC的中点，EF=MN.求证BD⊥ME.
分析：构造中点四边形。能够证明四边形EMFN是平行四边形。由EF=MN，得到四边形EMFN是矩形。因为EN∥BD,EN⊥ME 所以BD⊥ME.
 3．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外做等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。
(1)猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
(2)⊿BMC形状的改变是否对上述结论有影响。
分析：可以把图形分解成我们所熟悉的图形。
四边形EFGH的形状是由线段AC、BD决定的。
连结AC、BD，⊿AMC与⊿BMD关于点M成旋转对称。
所以AC=BD,因此四边形EFGH是菱形。
如图所示，⊿BMC形状的改变对上述结论没有影响。
反思：在例3中，通过向三角形形外做等边三角形构造了中点四边形，你还能构造类似的图形吗？
  
4．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外做等腰直角三角形ABM、C DM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。
(1)猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
(2)⊿BMC形状的改变是否对上述结论有影响。
答案：（1）正方形；（2）不影响。
5．已知：如图，分别以AB、AC为边向⊿ABC形外作正方形ABDE、正方形ACGF，M、N、P、Q分别是EF、BC、EB、FC的中点。
(1) 猜测四边形MPNQ的形状，试证明你猜想的结论。
(2) ⊿ABC形状的改变是否对上述结论有影响，请说明理由。
分析：把图形分解成我们所熟悉的图形。
（1）猜想四边形MPNQ可能是正方形。
由右图可知，四边形MPNQ的形状由四边形BCFE的对角线决定.
即四边形MPNQ的形状是由CE与BF的数量关系和位置关系决定的。
（2）在右图中我们曾讨论过CE与BF的数量关系和位置关系,得到结论：
⊿EAC与⊿FAB关于点A成旋转对称。所以CE=BF且CE⊥BF。
因此四边形MPNQ是正方形。
结论：如图所示：改变⊿ABC的形状，四边形MPNQ仍然是正方形。因为无论⊿ABC形状如何改变，CE与BF的数量关系和位置关系都不发生变化。
 
三、重点知识小结：
1．如果图形中有两个以上的中点，一般就具有应用三角形中位线定理的条件，如果是四边形就可以通
过对角线转化为三角形.
2．顺次连接任意平面四边形各边中点必定得到平行四边形.
顺次连接菱形各边中点得到的必定是矩形；
顺次连接矩形各边中点得到的必定是菱形
3. 实际上，“中点四边形”一定是平行四边形，它是不是特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂
直或者是否相等，与是否互相平分无关.
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