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菱形的性质与判定
本周目标:
掌握菱形的定义，了解菱形与平行四边形的关系；掌握菱形的性质与判定；能运用菱形性质与判定解决相关问题；通过实际应用提高学生用数学的意识。
重点:
本周教学的重点是菱形的性质及判定
难点：
区别菱形的性质与判定并正确运用其解决相关问题。
知识要点：
1、 菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。
2、菱形的性质：
性质1 菱形的四条边相等。
性质2 菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。
已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O（如图1）
求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝AD（菱形的四条边相等）
在等腰△ABD中，∵BO＝OD，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD。
同理：
AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。
图1
3、菱形面积计算方法：
(1) S＝底×高
(2) S＝ 对角线1×对角线2＝ ab
例 已知菱形ABCD的边长为2cm ，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O（如下图），求这个菱形的对角线长和面积。
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，∠BAO＝ ＝×120°＝60°
（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）
在Rt△AOB中，
∵∠ABO＝90°－∠BAO＝30°
∴AO＝ ＝×2＝1（cm）
BO＝ （cm）
∵AO＝ ，BO＝
∴AC＝2AO＝2（cm），BD＝2BO＝2 （cm）
∴S菱形ABCD＝AC×BD＝2（cm2）
4、菱形的判定：
判定定理1 四边都相等的四边形是菱形。
判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
本周典型例题分析：
 1．已知：如图，□ABCD中，AB=2BC，E、F是直线BC上的点，BE=BC=CF，求证：AF⊥ED
分析：若连结MN，欲证DE⊥AF，只要证四边形AMND是菱形。
证明：连结MN
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD BC，ABDC
 在△ABF中，∵BC=CF，AB∥CN
∴AN=NF
又∵AD∥BF，∴DN=NC
同理可证：AM=MB
又∵AB=2BC
∴AMDN，
∴四边形AMND是平行四边形
而AD=DN，∴四边形AMND是菱形
∴AN⊥MD，即AF⊥ED
换个思路想一想，如果利用“如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角是直角。”这个直角三角形的判定定理 ,如何证？
解法2：如图，延长BE至G，使得EG=EB，连结AG
∵AB=2BC，EB=BC=CF
∴在△AGF中，AB=GB=FB
∴∠GAF=90°，即GA⊥AF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ADBC
又∵GE=BC，∴GEAD
∴四边形AGED是平行四边形
∴AG∥ED，
∴AF⊥ED
想一想，例1还有哪些证法？
2. 已知：如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACB=90°，AF平分∠BAC，交CD于E，FG⊥AB于G，求证：四边形GFCE是菱形
 分析：可先证四边形GFCE是平行四边形，再证它是菱形
证明：如图所示，
∵AF平分∠BAC，FG⊥AB、FC⊥AC，
∴FG=FC
在△ABC中，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠B=∠ACD
∴∠CEF=∠CAF+∠ACD=∠BAF+∠B=∠EFC
在△CEF中，∵∠CEF=∠CFE，∴CE=CF
又∵CD⊥AB，FG⊥AB
∴CEFG
∴四边形CEGF是平行四边形
又∵CE=CF
∴四边形CEGF是菱形
3. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AC=CB，E、F分别 是AC、AB的中点，∠DEA=∠ACB=45°，BG⊥AE于G点。求证：
(1)四边形AFGD是菱形；
(2)若AC=BC=10cm，求菱形AFGD的面积。
证明提示：
①在Rt△ABG中，由F是斜边AB的中点，可得AF=GF
②在△ABC中，若连结EF，由E、F分别是AC、AB的中点，得EF BC，
而由已知，AC=CB， ，则DE=EF，
由EF∥BC，则∠AEF=∠ACB=45°
③连结DF，由DE=FE，AE平分∠DEF，则AE垂直平分DF，从而AD=AF，GD=GF
④由AF=FG=GD=DA，得四边形AFGD为菱形
(2)解法提示：
①
②
③
4．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形 和菱形 中，点 在同一条直线上， 是线段 的中点，连结 ．若 ，探究 与 的位置关系及 的值．
小聪同学的思路是：延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点 顺时针旋转，使菱形的对角线 恰好与菱形的边
 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生
变化？写出你的猜想并加以证明．
解：（1）线段与的位置关系是 ；  ．
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长交 于点，连结 ．
 是线段的中点，
  ．
由题意可知 ．
 ．
 ，
 ．
 ， ．
 四边形是菱形，
 ， ．
由，
且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
可得 ．
 ．
四边形是菱形，
 ．
 ．
 ．
 ， ．
 ．
即 ．
 ， ，
 ， ．
 ．
5. 已知：如图，由菱形ABCD的顶点C作CF⊥射线AD于F点，CE⊥射线AB于E点，试确定CF与CE的大小关系，并证明你的结论。
 分析与提示：对于提出的猜想CF=CE，许多同学采取证明△CFD≌△CEB，但是此方法显然不如“连结AC”这个证法好。
解：CF=CE证明如下，连结AC
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CAE=∠CAF
又∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴CF=CE
6. 已知：如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB的延长线于F点，交AB于G点。
求证：AB与EF互相平行分于G点
分析：欲证AB与EF互相平分于G点，连结AF、EB，只要证四边形AFBE是平行四边形，又需证AEFB，为此，就要考虑E是AD边中点及EF⊥AC的条件如何运用。
 证明：如图，分别连结AF、BE、BD
∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，AC⊥BD
又∵EF⊥AC，∴EF∥BD
∵EF∥BD，ED∥FB
∴四边形EFBD是平行四边形
∴EDFB
又∵AE=ED,∴AEFB
∴四边形AFBE是平行四边形
∴AB、EF互相平分于G点
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