编稿老师：郭伦 审稿老师：董嵩 责编:张杨
学习目标：
通过研究圆的基本性质，重点掌握垂径定理及其推论，圆心角与弧、弦的关系的定理及其推论.
学法建议：
圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题.另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章.
学习内容精析：
一、圆的定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．
固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径．以O为圆心的圆记作：⊙O，读作：圆O．圆心为O，半径为r的圆，可以看作是所有到定点O距离等于定长r的点组成的图形．
要确定一个圆，需要定圆心、定半径．圆心相同的圆叫同心圆．半径相等的几个圆叫等圆．
问题：为什么车轮做成圆形?
把车轮做成圆形，车轮上各点到圆心的距离都等于圆的半径，当车轮在地面上滚动的时候，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳．
二、圆的有关概念
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
过圆心的弦叫做直径，直径是半径的两倍，直径是圆中最长的弦．
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧．
以A、B为端点的弧记作
，读作弧AB．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，任意一条非直径的弦的两个端点把圆分成两条弧，大于半圆的叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧．
为了区分，一般优弧用三个大写字母表示，记作
.一条弦对两条弧．
能够完全重合的两条弧叫做等弧．等弧包含着两层意思，既要弧度等，又要长度等，所以等弧只在同圆或等圆中出现．
例1：如图，A、B、C为⊙O上的三点，AB为直径，OD⊥BC于D，OD=3，求弦AC的长度.
分析：图中有什么基本图形?
有什么基本图形中的元素?
猜想已知线段与所求线段有什么关系?
需要什么?
解：连接OC
∵ OC=OB，OD⊥BC于D
∴ BD=DC
∵ BO=OA
∴ AC=2OD=6
小结：
1．同圆或等圆的半径相等，是圆中一个隐藏的数量关系，在同圆中，见到两条半径就要想到等腰三角
形．
2．圆中计算和证明的难点，在于直线形中的定理和圆中的定理的综合运用，见到一条线段或一个角要
分析是圆中的什么元素，是直线形中的什么元素，并在两种基本图形之间进行转化．圆中的特殊的
数量关系提供条件，在直线形中进行计算，是这一章计算问题的常规思路．
三、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
我们在一个圆中任画一条直径并沿之折叠，直径左右两个半圆能够完全重合．
如图，CD是⊙O的直径，点C、D的对称点是它本身，一个半圆上任取一点A，另一个半圆上一定有一个点B与之对称．
四、垂径定理：观察图形：AB是⊙O的一条弦，作直径CD⊥AB于E，这个图形是轴对称图形吗?对称轴是谁?图中有哪些相等的线段和弧?你能证明你的结论吗?
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E．
求证：AE=EB，
，
．证明：连结OA、OB，则OA=OB
∵ CD⊥AB
∴ 直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴
∴ 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
A点和B点重合，AE和BE重合，
、
分别和
、
重合∴ AE=BE，
，
．从而得到圆的一条重要性质：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
几何符号语言表述：⊙O中，∵ CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E
∴ AE=EB，
，．分析定理：这个定理的条件、结论分别是什么?
为了便于理解可以叙述为：
如果一条直线满足过圆心、垂直弦，一定可以平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．
主语是一条直线，两个条件推三个结论．可以利用垂径定理来证明线段等和弧等．
垂径定理的推论：
如果把定理的条件和结论换一换：如果一条直线过圆心、平分弦(不是直径)，会得到什么结论?
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
几何符号语言表述：⊙O中，∵ CD是直径，AB是非直径的弦，AE=EB
∴ CD⊥AB于E，
，．为了便于理解可以叙述为：
如果一条直线满足过圆心、平分弦(非直径)，一定可以垂直弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．
需要特别注意：
“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
垂径定理及推论是圆的轴对称性的具体体现，用来证明线段等、弧等、垂直关系．
例2：(1)如何把一条弧二等分?
分析：利用圆的轴对称性，点A、点B为对称点，对称轴是对应点连线的垂直平分线
，所以作弦AB的垂直平分线就可以把弧二等分．思考：如何把一条弧四等分?
(2)利用上面的结论，如何确定一条弧的圆心?
分析：圆的对称轴即直径所在直线，两条直径的交点即圆心．
例3：解决赵州桥的半径问题.
分析：首先，把实际问题转化为数学问题
桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧
表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，
即AB=37.4米，的中点C到线段AB的距离为7.2米．如何确定点C呢?对于，如果经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，并延长交于点C，那么根据垂径定理可知，OD平分弦AB，0C平分，即C点为的中点，CD就是拱高，这样做出的图形符合题意．解：如图，用
表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，半径为R过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足．OC与
相交于点C，则D是AB的中点，C是
的中点，CD就是拱高．AB=37.4，CD=7.2
AD=
AB=18.7OD=OC-CD=R-7.2
在Rt△OAD中，
即
解得R≈27.9(m)
因此，赵州桥主拱半径约为27.9米．
小结：
1．此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧．这是圆中解决弦的有
关计算问题的常用辅助线——垂直于弦的直径(半径)．
2．解决这类问题时，只要抓住弦长、圆心到弦的距离(弦心距)、弓形高及半径之间的关系，已知其中
的两个量，可以求出其它两个未知量．
四条线段的长：弦长
、圆半径
、弦心距d、弓形高h关系：
； 
思路：辅助线构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理相结合．
五、圆的旋转不变性：
一个圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．
六、圆心角的概念：
顶点在圆心的角叫做圆心角．
是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是所对的弦．注意：一个圆心角对一条弧、一条弦．一条弧对一个圆周角、一条弦．但是一条弦对两条弧，两个圆周角．
七、研究圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明
．把∠AOB绕O旋转，使
与
重合，因为
，所以射线
与射线
重合．因为
，
，所以点A与点
重合，点B与点
重合．因为圆具有旋转不变性，所以
与
重合于是有结论：
，
．这就是圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
几何符号语言：⊙O中，∵
∴
，或∵ ⊙
与⊙
是等圆， ∴
，同样的，在同圆或等圆中，如果两条弧等，还能知道什么相等?
在同圆或等圆中，如果两条弦等，还能知道什么相等? ’
(弦所对的优弧相等、劣弧相等，优弧所对的弦心角相等、劣弧所对的弦心角相等)
把这三个真命题概括起来，得到定理的推论．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
分析定理：同圆或等圆中圆心角等、弧等、弦等，知一推二．用来找角、线段、弧的相等关系．
1．判断题，下列说法正确吗?为什么?(1)因为
，所以．错，反例如图．没有同圆或等圆的前提．
(2)在⊙
和⊙中，如果弦，那么．
错一在于没有同圆或等圆中，不能用定理．错二在于同圆或等圆中，也有优弧、劣弧之分．
(3)如图，∠1=∠2，则AD=BC
错，BC不是弦．
2．如图，在⊙O中，
，∠1=45°，求∠2的度数．
解：∵ ⊙O中，
∴
即
∴ ∠2=∠1=45°
3．如图，在⊙O中，
，∠ACB=60°求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
证明：∵ ⊙O中，
∴ AB=AC
∵ ∠ACB=60°
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC
小结：
1．在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦之间的关系定理及推论，这些内容是我们今
后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据．
2．在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件．
