重点、难点：
有技巧的二次根式的运算和化简.
重点难点解析：
一、二次根式的混合运算：
1．计算：
分析：解第(1)题有两种途径：一是将括号中的每一项分别除以除式，再把所得的商相加；二是先把括号内的式子作加减运算，然后再做除法．第(2)题用立方和与立方差公式比较简单．
解：
(1)解法一：
解法二：
点评：以上两题较为复杂，运算时注意运用二次根式的性质，注意运算方法．
2．计算
分析：对含有除法运算的二次根式，一般是先进行分母有理化．但此题若将除式
转化为乘以
，再用乘法分配律，就可以进行约分，计算会简单些．解：
3．化简
分析：此题若先分母有理化，将会复杂得多．此题的特点是：当分子分解因式后，可与分母约分，约去分母就能简化计算过程．
解：
4．
分析：式子
正是完全平方式
,再与
相乘便可用平方差公式化简.解：
点评：此题除以上解法外，还可以将
相乘，再利用平方差公式化简．5．先化简，再求值．
分析： 根据本题特点，有两种解题途径：一是先分母有理化，再通分，做加法；另一种是：先通分，再做加法，最后变除法为乘法．实际上第二种方法较为简便．
解：
当a=3，b=4时，
二、化简形如
的二次根式对于二次根式
的性质，我们在前面学习二次根式的化简和计算中已经用到过．但在那里，只是着重在根号内的字母取非负数的情形．例如，
等等．下面研究a为任意实数时，的化简．由算术平方根的意义知，
当
时，
仍有意义，等于什么呢？
综合以上两种情况，有
注意：
(1)公式
是二次根式的一个重要的性质．需特别强调的是当a取负值时，将
化简应注意符号的变化．(2)正因为
中的a可以取任意实数，所以对于
型的二次根式化简时，一定要根据所给条件进行化简．如化简
(3)为防止在化简中出现符号错误，要牢记
这一中间过程，然后对不同的a的符号利用绝对值的意义去绝对值符号．
1．化简下列各式：
分析：第(1)题条件b<0，而
，这是隐含的条件．其余的根据题目条件，利用公式解：
点评：被开方数是两位数的差的平方时，开方的结果就等于较大的数减去较小的数．如第(3)
2．选择题
( )A．
B．
C．
D．
． 分析：
且由
答案：D
点评：这道题容易把
这一条件忽略，找a的取值范围时，应考虑全面．3．将
中的根号外面的因式移到根号里面.分析：
要将根号外的因式移入根号内，根据，移入根号里面的必须是非负数，可以将，将
平方后移入根号内，“－”仍留在根号外面．解：
点评：此题根据二次根式被开方数的非负性挖掘出隐含条件
这是解决问题的关键．4．已知，求
的值.分析：
解：
点评：题目没有直接给出a和b的取值范围，但它隐含在条件，
中，不易发现．所以在化简二次根式时，挖掘隐含在题目中的条件是关键．5．已知
，求代数式
的值.分析：此题应该先化简．对于
要去掉绝对值符号，就是看
的取值范围是什么．解：
6．已知x为实数时，化简
.分析：要化简二次根式
，首先把被开方数因式分解，然后用公式进行化简．条件中x是实数，化简时必须对x进行分类讨论才能去掉绝对值符号．解：
点评：本题先令每一绝对值内的代数式的值为零，求出所对应的“零值点”，即令
再在数轴上标出这些点，将数轴分成三个区间，分别是
最后按区间范围去掉绝对值符号，从而使二次根式得以化简．这种方法叫“零值点区分法”．
