一元二次方程的根的判别式
知识要点：
要点1．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
　　当b²－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：
　　
　　当b²－4ac=0时，方程有两个相等的实数根：
　　当b²－4ac＜0时，方程没有实数根。
　　我们把b²－4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式，记作△=b²－4ac.

要点2．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个实数根x1、x2，则有
　　

例题分析：
一、要点1的应用
　　1. 不解方程，判定下列各方程根的情况
　　(1)2x²－6x－5=0；(2)2x²－12x+18=0; (3)3x²－5x+4=0; (4)x²－2x+k=0
　　解：(1)2x²－6x－5=0
　　　　　 ∵a=2,b=－6,c=－5
　　　　　 ∴△=b²－4ac=(－6)²－4×2×(－5)=36+40=76＞0
　　　　　 ∴2x²－6x－5=0有两个不相等的实数根
　　　　(2)2x²－12x+18=0，化简得：x²－6x+9=0
　　　　　 ∵a=1,b=－6,c=9 ∴△=(－6)²－4×1×9=36－36=0
　　　　　 ∴2x²-12x+18=0有两个相等的实数根
　　　　(3)3x²－5x+4=0
　　　　　 ∵a=3,b=－5,c=4 ∴△=(－5)²－4×3×4=25－48=-23
　　　　　 ∴3x²－5x+4=0没有实数根，即在实数范围内无解。
　　　　(4)x²－2x+k=0
　　　　　 ∵a=1,b=－2,c=k ∴△=(－2)²－4×1×k=4(1－k)
　　　　　 ∴当1－k＞0时，即k＜1时，△＞0，方程x²－2x+k=0有两个不相等的实数根，
　　　　　 当1－k=0时，即k=1时，△=0，方程x²－2x+k=0有两个相等的实数根，
　　　　　 当1－k＜0时，即k＞1时，△＜0，方程x²－2x+k=0无实根。

　　2．已知：关于x的方程有两个不相等的实数根。
　　　　　　求k的取值范围。
　　解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根。
　　　　∴此方程中二次项的系数k≠0并且△＞0
　　　　即
　　　　解得

　　3．已知：关于x的方程有实根，求k的取值范围。
　　分析：当k≠0时，该方程是关于x的二次方程，它有实根，则△≥0；
　　当k=0时，原方程化为x的一元一次方程。
　　解：
　　(1)当k=0时，原方程化为x=0；
　　(2)当k≠0时，△=(k+1)²-k²=2k+1≥0
　　解得
　　由(1)、(2)，

二、要点2的应用
　　4．已知关于x的方程 kx²-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
　　(1) 求k的取值范围；
　　(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？
　　若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
　　解： (1) ∵方程有两个不相等的实数根，
　　　　　 　∴Δ=[-2(k＋1)]²－4k(k-1)＞0，且k≠0，解得，且k≠0 .
　　　　　 　即k的取值范围是，且k≠0 .
　　　　 (2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x₁ , x₂的倒数和为0.
　　　　　 　则x₁ ，x₂不为0，且，即，且，解得k=-1 .
　　　　　 　而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件，且k≠0矛盾，
　　　　　 　故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在.

　　5．关于x的方程x²－(2k＋1)x＋k²＝0。
　　(1) 如果方程有实数根，求k的取值范围。
　　(2)设x₁、x₂是方程的两根，且，求k的值。
　　解：(1) ∵方程有实数根 ∴△≥0 即 [(2k＋1)]²－4k²≥0
　　　　　　4k²＋4k＋1－4k²≥0 ∴4k＋1≥0 ∴k≥
　　　　(2) 解：∵x、x₂是方程的两根 ∴x₁＋x₂＝2k＋1，x₁·x₂＝k²
　　　　　 　　 ∵ 又∵ ∴
　　　　　 　　 ∴， 又∵k≥ ∴应舍去，k＝

三、综合要点1，2的应用
　　6．已知： x₁、x₂是关于x的方程x²＋（2a－1）x＋a²＝0的两个实数根，且（x₁＋2）（x₂＋2）＝11，求a的值。
　　解：∵x₁、x₂是方程x²＋（2a－1）x＋a²＝0的两个实数根，
　　　　∴x₁＋x₂＝1－2a，x₁﹒x₂＝a²
　　　　∵（x₁＋2）（x₂＋2）＝11， ∴x₁x₂＋2（x₁＋x₂）＋4＝11
　　　　∴a²＋2（1－2a）－7＝0，即a²－4a－5＝0。
　　　　解得a＝－1，或a＝5。
　　　　又∵Δ＝（2a－1）²－4a²＝1－4a≥0，
　　　　∴a≤。 ∴a＝5不合题意，舍去。
　　　　∴a＝－1

　　7．已知：关于x的一元二次方程x²+2(2－m)x+3－6m=0
　　　　　　求证：无论m取什么实数，方程总有实数根。
　　证明：∵△=[2(2-m)]²-4(3-6m)=4[(2-m)²-(3-6m)]
　　　　　　　=4(m²-4m+4-3+6m) =4(m²+2m+1)
　　　　　　　=4(m+1)²≥0
　　　　　∴无论m取什么实数，方程总有实数根。

　　8．已知：a、b、c为实数，
　　求证：关于x的一元二次方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0恒有实数根。
　　证明：原方程化为：3x²－2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0
　　　　　∴△=[-2(a+b+c)]²－12(ab+bc+ca)
　　　　　　　=4(a²+b²+c²－ab－bc－ca)
　　　　　　　=2[(a²－2ab+b²)+(b²－2bc+c²)+(c²－2ca+a²)]
　　　　　　　=2[(a－b)²+(b－c)²+(c－a)²]
　　　　　∵a、b、c为实数
　　　　　∴(a-b)²≥0,(b-c)²≥0,(c-a)²≥0
　　　　　∴△≥0
　　　　　∴原方程恒有实数根。

　　9．求函数中y的取值范围。
　　解：
　　　　∴y(x²－2x－3)=x²
　　　　∴(y－1)x²－2yx－3y=0
　　　　(1)当y=1时，方程化为2x+3=0，
　　　　(2)当y≠1时，
　　　　△=4y²+12y(y-1)=4y(4y-3)≥0
　　　　即解得y≤0或
　　　　由(1)、(2)，∴y的取值范围是.