一、本章的主要内容及重点、难点：
1．主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法以及运用一元二次方程分析和解
决实际问题．
2．重点是一元二次方程的解法；难点是一元二次方程的应用．
3．注意观察一元二次方程的结构特征，正确地选用适当方法解一元二次方程是本章的一个重点，也是
一个难点．
二、中考考试要求：
| 考试内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
| 一元二次方程 | 了解一元二次方程的概念；会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义． | 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值． | |
| 一元二次方程的解法 | 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据． | 能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． | 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况；能由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围：会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题． |
三、本章知识结构框图
四、教学中应明确的问题
（一）一元二次方程的概念
1．理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式．
2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
（1）明确只有当二次项系数a≠0时，整式方程
才是一元二次方程；（2）各项的确定（包括各项及各项的系数）；
（3）要熟悉整理方程的过程．
错例：不整理成一般式就确定a，b，c；
例1：
可整理为：
错例：不整理，直接说成：一次项系数是-3，常数项为p．
3．一元二次方程的解（根）的定义与检验一元二次方程的解（根）．
（二）一元二次方程的解法
在学习本章之前，我们已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），并且学习了可以化为一元一次方程的分式方程，他们对于解方程的基本思路（使方程逐步化为x=a的形式）已经比较熟悉．一元二次方程与前面的方程相比，特点在于未知数的次数是2（二次），新的问题是如何将一元二次方程转化为已经会解的方程，即一次方程．从这个新问题入手，可以自然地引出解一元二次方程的基本策略和关键步骤．
1、直接开平方
对于形如
或
的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。形如
的方程的解法：当
时，
；当
时，
；当
时，方程无实数根。例2．解方程
两边开平方，得：
移项，得：
所以原方程的解为：
，
。注：建议先整理成
后，再求得两根，这样避免在符号方面出错。在进行用直接开平方法解形如的方程时，要有意识地体会“换元法”的思想。2、配方法
通过配方的方法把一元二次方程转化为
的方程，若
再运用直接开平方法求解。配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为
的形式；④求解：若
时，方程的解为
，若时，方程无实数解。配方法是一种重要的数学方法，在今后的学习中经常遇到，所以应熟练掌握，并要充分利用已有的知识经验（完全平方公式）。
例3．解方程：
。解：移项，得
（化为一般形式是必要步骤）二次项系数化为1，得
（此步是建议步骤）即
配方，得
……
注：这里，要先把“一次项”写成“首尾两倍”的形式，逐步理解在二次项系数为1的情况下，“方程两边都加上一次项系数（绝对值）一半的平方”这一关键步骤。
例4．解一元二次方程
解：移项得：
二次项系数化1，得：
配方，得：
求解，得：
（两边开平方）
（移项要正确）所以原方程的解为：
，
（正确写出原方程的解）
注：要求规范书写，同时要明确每一个步骤的目的，才能避免出现无谓的错误。
3、公式法
一元二次方程
的根
当
时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；当
时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为
；当
时，方程无实数根。公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a，b，c的值；
③代入
中计算其值，判断方程是否有实数根；④若
则代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。例5．用公式法解方程
解：整理得：
因为：
所以：
（代入公式容易出错）所以原方程的解为
，
。再例：用公式法解方程
。注：
（1）．求根公式对于任何一个有实根一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。
（2）．公式法实质上反映了一元二次方程的根与系数的关系。
4、因式分解法
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，
即：若
，则
或
；②因式分解法的一般步骤：
将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一
个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
错例：①
，就得出
或②因式分解能力不过关，分解不对，特别是十字相乘的符号；
③对于无理系数的一元二次方程，用因式分解法可简化运算。
例6：用因式分解法解方程
解：因式分解，得：
原方程可化为：
或
所以原方程的解为：
，
例7：
，
可简化运算注：
1．用因式分解法解一元二次方程要理解算理：
或（A、B至少一个为0）。不要犯如下错误：由
得
或
。2．结合因式分解法，继续体会降次的思想方法：将二次三项式化为两个一次式的乘积，分别求两个一
次方程的解。
5、选用适当方法解一元二次方程
根据方程的特征选用对应解法；
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。
例8．解方程
解：因式分解得：
，所以原方程的解为：
，
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。
例9：
解：移项，得：
或
∴
，
6、解含有字母系数的方程
含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型。
例10：解方程
解：
∴
或
，
再例：
解法1：可直接因式分解
或
∵
∴
∴
，
解法2：用配方法：
把
拆成和两项，再应用平方差公式进行因式分解，从而得出方程的解。解：
∵
∴ 
∴
，注：对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论，如例11。
例11：解关于x的方程
解：（1）若m=n=0，原方程变为
，方程的解为任何实数；（2）若m、n中有一个为0，另一个不是0时，原方程变为
或
，方程的解是x=0；（3）若m、n都不为0，原方程为一元二次方程，可由因式分解法得：
，方程的解为：
，
。学习体会：
（1）明确一元二次方程是以降次为目的，以直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法为手
段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
（2）能根据方程系数的特点，熟练地选用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解一元
二次方程；
（3）体会不同解法之间的相互联系；
（4）注意具体解法强调的问题
五．一元二次方程基础练习：
（一）一元二次方程的概念
1．一元二次方程的项与各项系数
把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其字母的值
（1）m为何值时，关于x的方程
是一元二次方程？
（2）若分式
，则
________ 3．由方程的根的定义求字母或代数式值
（1）关于
的一元二次方程
有一个根为0，则
________ （
）（2）已知关于
的一元二次方程有一个根为1，一个根为-1，则
____________，____________。 (0, 0)（3）已知c为实数，并且关于x的一元二次方程
的一个根的相反数是方程
的一个根，求方程的根及c的值。 （0，-3，c=0）（二）一元二次方程的解法
1．用直接开平方法解下列方程：
（1）
（） （2）
（
）（3）
（原方程无实根） （4）
（
）（5）
（
）2．用配方法解方程：
（1）
（
） （2）
（
）（3）
（原方程无实根）3．用公式法解下列方程：
（1）
（
） （2）
（）（3）
（
，
） （4）
（原方程无实数根）（5）
（
）4．用因式分解法解下列方程：
（1）
（
） （2）（
）（3）
（
，
） （4）
（
）（5）
（
）（6）
(
) （7）
（
，
，
，
）5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：
（1）
（
） （2）
（
）（3）
（
）（4）
（
）（5）
（
）6．解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：
（1）
（
，
）（2）
（）（3）
（
）（
）（4）
（讨论
：当
时，方程的解为：
；当
时，方程的解为：
；当
时，方程的解为：
）
