四边形复习
知识要点：
　　同三角形一样，四边形也是基本的平面图形。也是本学期“空间与图形”的主要研究对象。本章将在前面学生学过的平行线和三角形的基础上进一步研究一些特殊四边形的知识，探索平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的有关性质和常用判定方法，并结合对相关内容的推理证明，发展学生的逻辑思维能力。
　　1．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系；
　　2．探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这
　 　　些知识进行有关的证明和计算；
　　3．探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心的物理意义；
　　4．学生经历特殊四边形性质的探索过程，丰富从事数学活动的经验和体验,进一步培养合情推理能力；
　　5．结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，学生培养和发展逻辑思维能力和推理论证的
　 　　表达能力；
　　6．通过分析四边形与特殊四边形，以及平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，学
　 　　生认识到特殊与一般的关系，从而体会事物之间总是互相联系又是互相区别的，进一步培养辩证唯
　 　　物主义观点。

本周内容解析：
一、本章知识结构框图
　　　　　　　　　

二、典型范例精讲
　　1：〖旋转变换型〗如图①所示，已知两个全等正方形ABCD与A₁B₁C₁D₁，正方形ABCD的点C与正方形A₁B₁C₁D₁的中心重合，且绕点C旋转．
　　　　　　
　　⑴当正方形ABCD由图①旋转至图②时，两个阴影部分的面积是否相等？说明理由；
　　⑵当正方形ABCD旋转至任意位置时，如图③，重叠部分的面积会怎样变化？说明你的结论．
　　解析：
　　⑴观察图①和图②可知阴影部分面积等于其中任意一个正方形面积的，所以两个阴影部分的面积相等；
　　⑵重叠部分面积不变，仍等于其中一个正方形面积的．理由如下：
　　　如图③，连结CC₁、CD₁，在△CC₁F和△CD₁E中，
　　　CC₁＝CD₁，∠C₁CF＝90°－∠FCD₁＝∠D₁CE，∠CC₁F＝∠CD₁E＝45°，
　　　∴△CC₁F≌△CD₁E，∴．

　　2：〖拼图多解型〗如图，边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形，请将四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠，且不留空隙）．
　　⑴不是正方形的菱形；
　　⑵不是正方形的矩形；
　　⑶不是矩形和菱形的平行四边形；
　　⑷等腰梯形；
　　⑸不是梯形和平行四边形的凸四边形．
　　解析：
　　　　　　　　

　　3：〖几何作图型〗如图，两种规格的钢板原料，图（1）的规格为1m×5m，图（2）是由5个1m×1m的小正方形组成。电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）。
　　（1）焊接后的正方形工件的边长是___________；
　　（2）分别在图（1）和图（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接
　　　　 的痕迹）；
　　（3）从节约焊接材料的角度，试比较选用哪种原料较好？为什么？
　　　　　　　　
　　解析：本题主要考查下料方案的设计能力和焊接正方形工件的组合能力及计算能力。解决本题需根据焊接前面积是5m²和焊接前后面积不变，即可求出正方形边长，再根据边长可画出焊接图形。
　　解：（1）
　　　　（2）
　　　　（3）如图，（1）需4×2＝8，（2）2×2＋1＝5，所以（2）好些。

　　4：〖运动定值型〗如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC，垂足为点Q，PR⊥BE，垂足为点R，求PQ＋PR的值．
　　解析：本题属于动态问题，可采用“动中求静”的方法，
　　　　　即将P置于某一特殊位置，如P与E重合，则PR＝0，P到BC距离：
　　　　　PQ＝EQ＝BE·＝，所以PQ＋PR＝0＋＝．
　　本题的一般证法，可以把等腰△BCE分离出来，从而将问题转化成证明“等腰△BCE底边上任意一点P到两腰距离等于一腰BC上的高EQ”．

　　5：在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形。
　　⑴请你利用这个几何图形，求的值为___________；
　　⑵请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）；
　　　　（2）如图1或如图2或如图3或如图4等，图形正确。
　　　　　

　　6：小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图甲所示），他想在现有的六块瓷砖余料中（如图乙所示）挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案（画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号）．
　　　　　　
　　解：列举以下四种铺设的示意图供参考：
　　　　　　　 　

　　7：如图，某村有一口四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D各栽有一棵大核桃树，村里准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由。
　　解：可以，连结AC、BD，过A、C作EH∥BD，FG∥BD，
　　　　再过B、D分别作AC的平行线，几条平行线分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH即为所求。
　　　　理由：∵EF∥AC，GH∥AC，∴EF∥GH，同理，EH∥FG，
　　　　∴四边形EFGH是平行四边形，
　　　　∴S_△HAD＝S_△AOD……，∴S_HEFG＝2S_ABCD；

　　8：如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD＝BC＝4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中的直角），并分别写出所拼四边形的对角线的长（不要求写计算过程，只须写出结果）．
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：可以拼成四种不同形状的四边形，如图所示：
　　　　　　
　　　　①矩形，两条对角线长均为；
　　　　②平行四边形，两条对角线长分别为4和；
　　　　③平行四边形，两条对角线长分别为2和；
　　　　④四边形，两条对角线长分别为和；

　　9：如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形．操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去．
　　⑴请你设计出两种符合题意的分割方案图；
　　⑵设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角
　　　三角形的面积S填入下表：

分割次数n	1	2	3	…
最小直角三角形的面积S	a2			…

　　⑶在条件⑵下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表
　　　示出来．
　　解：⑴现提供如下三种分割方案：
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　⑵每次分割后得到的最小直角三角形的面积都是上一次最小直角三角形面积的，
　　　　　所以当n＝2时，S₂＝×a²＝a²；当n＝3时，S₃＝S₂＝a²；
　　　　⑶当分割次数为n时，S_n＝a²（n≥1，且n为正整数）．