反比例函数
一、目标认知：
学习目标
　　1．能够写出实际问题中反比例关系的函数解析式，从而解决实际问题。
　　2．用描点法画出反比例函数的图象，当时，双曲线的两支在一、三象限；当时，双曲线的
　 　　两支在二、四象限，双曲线是关于原点的对称图形，这一点在作图时很重要。
　　3．用一元方程求解反比例函数的解析式，学习中与正比例函数相类比。
　　4．掌握反比例函数增减性，时，在每一个象限内，y随x的增大而减小，时，在每一个象限
　 　　内，y随x的增大而增大。
　　5．熟练反比例函数有关的面积问题。

重点、难点
　　重点：反比例函数的定义、图象性质。
　　难点：反比例函数增减性的理解。

二、反比例函数概念
反比例函数概念
　　叫做反比例函数
　　①
　　②函数关系式变形式：
　　1.(1) 判断下列关系式中y和x是反比例函数关系吗？若是，指出比例系数。
　　（1）；（2）；（3）；（4）。
　　易错辨析：（2）和（3）都不满足反比例函数的形式，（1）（4）是反比例函数关系式，但注意比例系数分别是和。
　　(2)当m为何值时，函数是反比例函数？
　　解： ；解得m=3
　　(3)判断下列关系式中y分别是x的什么函数：
　　（1）；（2）；（3）；（4）。
　　答：（1）是正比例函数；（2）是一次函数；（3）（4）是反比例函数。

　　2．已知，与x成正比例，与x-2成反比例，当x=l时，y=2；当x=3时，y=l，求y与x的函数关系式．
　　思路点拨：首先要表示出与x和与x的函数表达式，注意这里的比例系数是不同的（设）；其次，再由，列出y与x的关系式．然后利用两组数据求出函数的解析式．
　　解：由题意得 ； ;把x=l时，y=2； x=3时，y=l代入得
　　　　； 解得；
　　易错辨析：在本题中容易出现两种错误，没有区分两个比例系数，只设了一个k；或者设两个比例系数，却把x=1，y=2代入的解析式，把x=3，y=1代入的解析式．
　　方法点评：在解决这一类问题时，先根据题意设出解析式，然后再把已知数据代入，最后解关于字母的方程(组)．

三、图象与性质
1、反比例函数图象是双曲线

2、性质：
　　①当k＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小
　　　当k＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大
　　②反比例函数的几何意义是函数图象上任意一点到两坐标轴的垂线与两坐标轴所围成
　　　的矩形的面积。
　　③反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点．

　　1．点P，Q在的图象上
　　（1）若P(1，a)，Q(2，b)，比较a，b的大小；
　　（2）若P(-l，a)，Q(-2，b)，比较a，b的大小；
　　（3）你能从中发现y随x增大时的变化规律吗?
　　（4）若P，Q，，你能比较y₁与y₂的大小吗?
　　思路点拨：通过图象来确定。
　　解：（1）b＞a； （2）a＞b； （3）在每个象限内，y随x的增大而增大；
　　　　（4）当位于同一分支上时，y_l＜y₂；当位于不同分支上时，y_l＞y₂．

　　2．如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察k₁、k₂、k₃得到的大小关系为（ ）
　　A．k_l＞k₂＞k₃ 　　　　　B．k₂＞k₃＞k₁
　　C．k₃＞k₂＞k_l 　　　　　D．k₃＞k₁＞k₂
　　思路点拨：（1）从反比例函数经过的象限，首先判断k₁＜0，k₂＞0，k₃>0：（2）只需比较k₂与k₃之间的大小关系，取同一个自变量如x=1时，在图象上找到对应的点，通过图象比较此时纵坐标的大小，根据反比例函数解析式，纵坐标大，则比例系数大，k₂＜k₃。故选C.

四、典型例题：
　　1．下列各题中，哪些是反比例函数关系。
　　（1）三角形的面积S一定时，它的底a与这个底边上的高h的关系；
　　（2）多边形的内角和与边数的关系；
　　（3）正三角形的面积与边长之间的关系；
　　（4）直角三角形中两锐角间的关系；
　　（5）正多边形每一个中心角的度数与正多边形的边数的关系；
　　（6）有一个角为30°的直角三角形的斜边与一直角边的关系。
　　解：成反比例关系的是（1）、（5）
　　点拨：若判断困难时，应一一写出函数关系式来进行求解。

　　2．在同一坐标系中，画出和的图象，并求出交点坐标。
　　解：

x	-4	-2			2	4
	-2	-4	-16	16	4	2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　，
　　　　双曲线与直线相交于（2，4），（-2，-4）两点。
　　点拨：本题求解使用了“数形结合”的思想。

　　3．当n取什么值时，是反比例函数？它的图象在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大或是减小？
　　点悟：根据反比例函数的定义：，可知是反比例函数，必须且只需且
　　解：是反比例函数，则
　　　　
　　　　∴
　　　　即n=-1
　　　　故当n=-1时，表示反比例函数
　　　　
　　　　∵ k=-1＜0
　　　　∴ 双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大而增大。
　　点拨：判断一个函数是否是反比例函数，惟一的标准就是看它是否符合定义。

　　4．若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
　　A．（2，6） 　　　　　B．（2，-6）
　　C．（4，-3）　　　　　D．（3，-4）
　　（2002年武汉）
　　点悟：将点（3，4）代入函数式求出m的值。
　　解：将点（3，4）代入已知反比例函数解析式，得
　　　　
　　　　即，∴
　　　　∴
　　　　将A点坐标代入满足上式，故选A。
　　点拨：本题中求的值的整体思想是巧妙解题的关键。

　　5．a取哪些值时，是反比例函数？求函数解析式？
　　解：
　　　　解得，
　　　　当时，
　　　　当时，
　　　　∴ 当时，函数是反比例函数，其解析式为
　　点拨：反比例函数可写成，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意对这一条件的讨论。

　　6．若函数是反比例函数，求其函数解析式。
　　解：由题意，得
　　　　
　　　　得
　　　　∴ m=2
　　　　故所求解析式为
　　点拨：在确定函数解析式时，不仅要对指数进行讨论，而且要注意对x的系数的条件的讨论，二者缺一不可。

　　7．（1）已知，而y₁与x+1成反比例，y₂与x²成正比例，并且x=1时，y=2；x=0时，y=2，求y与x的函数关系式；
　　（2）直线与y=2x平行且过点（3，4），求l的解析式。
　　解：（1）∵ y₁与x+1成反比例，y₂与x²成正比例
　　　　　　 ∴ ，
　　　　　　 ∴
　　　　　　 把x=1，y=2及x=0，y=2代入
　　　　　　 得
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∴
　　　　（2）∵ y=kx+b与y=2x平行
　　　　　　 ∴ k=2
　　　　　　 又∵ y=kx+b过点（3，4）
　　　　　　 ∴ 3k+b=4，∴ b=-2
　　　　　　 ∴ 直线l的解析式为y=2x-2
　　点拨：这是一道综合题，应注意综合应用有关知识来解之。

　　8．一定质量的二氧化碳，当它的体积V=5m³时，它的密度
　　（1）求与V的函数关系式；
　　（2）求当V=9m³时二氧化碳的密度。
　　解：（1）由物理知识可知，质量m，体积V，密度之间的关系式。
　 　　　　　由，，得
　 　　　　　
　 　　　　　∴
　　　　（2）将代入上式，得
　 　　　　　
　　点拨：这是课本上的一道习题，它具有典型性，其意义在于此题与物理知识、化学知识形成了很好的结合，且V的取值可变化。

　　9．在以坐标轴为渐近线的双曲线上，有一点P（m，n），它的坐标是方程的两个根，求双曲线的函数解析式。
　　点悟：因为反比例函数的图象是以坐标轴为渐近线的双曲线。所以，不妨设所求的函数解析式为。然后把双曲线上一点的坐标代入，即可求出k的值。
　　解：由方程解得
　　　　，
　　　　∴ P点坐标为或
　　　　设双曲线的函数解析式为，则
　　　　将，代入，得
　　　　将，代入，得
　　　　故所求函数解析式为
　　点拨：只需知识曲线上一点即可确定k。

　　10．如图，Rt△ABC的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线在第一象限的交点，且
　　（1）求m的值；
　　（2）求的值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）设A点坐标为（a，b）（a＞0，b＞0）
　 　　　　　则OB=a，AB=b
　 　　　　　∴ ，∴ ab=6
　 　　　　　又∵ A在双曲线上
　 　　　　　∴ ，即ab=m，∴ m=6
　　　　（2）∵ 点A是直线与双曲线的交点
　 　　　　　∴ ；得或
　 　　　　　∵ a＞0，b＞0
　 　　　　　∴ A
　 　　　　　由直线知C（-6，0）
　 　　　　　∴ OC=6，，
　 　　　　　∴
　 　　　　　　　　　
　 　　　　　　　　　
　　点拨：三角形面积和反比例函数的关系，常用来求某些未知元素（如本例中的m）。熟记反比例函数的几何意义，提高解题速度。