初二数学试卷
试卷满分120分，考试时间100分钟
A卷 满分100分
一、精心选一选(1～8题每题3分，第9、10题每题2分，共28分)
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把正确结论的代号写在题后的括号内。
1．以下各式中，正确的是( )．
A．
B．
C．±
D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是( )．
A．
B．
C．
D．
3．下列关于反比例函数
的说法中，正确的是( )．A．
随
的增大而增大B．
随的增大而减小C．它的图象分别位于第一、三象限
D．它的图象分别位于第二、四象限
4．下列各组长度的线段能组成直角三角形的是( )．
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．，
，
5．以下数据2，3，3，4，5，6，6，6，7的众数和中位数分别是( )．
A．3，5 B．6，5 C．5，6 D．5，3
6．如图，
ABCD中，AB=3，BC=5，若BD的垂直平分线交AD于E，则△ABE的周长是( )．A．6 B．8
C．9 D．10
7．在数学活动课上，同学们要判断一张四边形纸片是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )．
A．测量两组对边是否分别相等 B．测量一组对角是否都为直角C．测量两条对角线是否互相平分 D．测量三个角是否都为直角
8．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC⊥BD，若BD=4，则梯形ABCD的上下底之和等于( )．
A．
B．4C．
D．89．如图，在第一象限内，正比例函数
与反比例函数
的图象都经过A(1，4)点，当时，的范围是( )．A．
B．
C．
D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，若边长为2的正方形BEFG的对角线BF落在AB边上，则DG的长为( )．
A．4 B．
C．6 D．
二、细心填一填(第11～19题每题3分，第20题2分，共29分)
11．使
在实数范围内有意义的的条件是__________．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，若AB=1，
则BD=__________．
13．小明家购买了1000度电，若他家平均每天的用电数为
(度)，买到的电所够使用的天数为 (天)，则与的函数关系式为__________．(不要求写出自变量的取值范围)
14．北京市近年来一直在大力整治空气污染，右图反映了从2001年到2007年北京市空气质量达到及好于二级的天数的变化情况，那么这组数据的极差是__________．
15．若关于
的一元二次方程
的一个实数根为2，则k的值为_____．
16．如图，直角坐标系
中，正方形ABCD的顶点A、C的坐标分别为A(0，3)、C(0，-3)，则正方形ABCD的面积等于__________．17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE∥AB交BC于点E，若∠B=60°，AD=3，DE=5，则梯形ABCD的周长为__________．
18．如图，点A在反比例函数
的图象上，
轴，垂足为B，若
，则反比例函数的解析式为__________。
19．已知直角三角形两条边的长
、满足
，则第三边的长为_______。20．如图，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，依次连结它的各边中点得到第一个四边形
，再依次连结四边形的各边中点得到第二个四边形
，按此方法继续下去，得到的第n个四边形
的面积等于__________。三、解答题(共5个小题，共30分)
21．计算：(每小题4分，满分8分)
(1)
；(2)
22．解一元二次方程：(第(1)小题3分，第(2)小题4分)
(1)
；(2)
23．(本小题满分5分)已知：如图，
ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF⊥AE交CD于F．(1)求证：BE=BA；
(2)当∠B=70°时，求∠CFE的度数；
(3)当AB、BC满足什么条件时，点F能与点D重合?(直接写出答案)
24．(本小题满分4分)
甲、乙两名同学参加学校组织的100米短跑集训，教练把10天的训练结果用折线图进行了记录(如右图所示)．
(1)请你用已知的折线图所提供的信息完成下表：
| 平均数 | 众数 | |
| 甲 | 15 | 14 |
| 乙 | 15 |
大小：
_____
；(填“＞”或“＜”)(3)学校打算根据两名同学这10天训练的情况，从中选出一人参加市中学生运动会100米比赛，
①如果学校想派成绩较为稳定的同学参加比赛力争取得名次，选谁去合适?为什么?
②如果学校想根据这10天成绩变化的趋势选派更有夺冠实力的同学参赛，选谁去合适?为什么?
25．(本小题满分6分)
将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起，使两个矩形对角线的交点重合，记该
点为O，得到如图所示的四边形ABCD，作DE⊥AB于E，BF⊥AD于F．(1)判断DE与BF的大小关系；
(2)求证：四边形ABCD是菱形；
(3)如果两张矩形纸片的长都是8cm，宽都是2cm，将其中一张纸片绕点O转动，那么在纸片转动的过程中，菱形ABCD的周长是否存在最大值和最小值?如果存在，请直接写出最大值和最小值(无需过程)，并在备用图中画出第二张纸片位置的示意图；如果不存在，请简要说明理由．
四、解答题(本题满分6分)
26．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＜DC，AD=4cm，BC=12
，BD=CD=1Ocm，点E以2cm/s的速度在线段CB上由C向B运动，运动的时间为t(s)．(1)若四边形ABED的面积为
，求关于t的函数解析式及自变量t的取值范围；
(2)t为何值时四边形ABED与△DEC的面积相等?判断此时四边形ABED的形状并
说明理由．
五、解答题(本题满分7分)
27．已知：如图，直线
与轴交于点A，与轴交于点B，与
反比例函数在第一象限内的图象交于C、D两点，已知点C的横坐标为
．(1)求C点的坐标及反比例函数的解析式；
(2)求证：△BOC≌△AOD；
(3)请直接写出以O、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点E的坐标，并画出图形．
B卷 满分20分
一、填空题(每空2分，共6分)
28．如图，两个反比例函数
、
在第一象限内的图象如图所示，点
，，
，…，
在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是
，
，
，…，
，纵坐标分别是1，3，5，…，共n个连续奇数，若过点，，，…，分别作轴的平行线，与的图象的交点依次是
，，
，…，
，则
_____，
_____，
_____。
二、解答题(本题满分7分)29．已知：如图①，矩形ABCD被一些线段分割成四部分，其中某些线段的长度如图中所示，已知这四部分可以没有重叠、没有空隙地拼成一个正方形。
(1)求出所拼得正方形的边长，并写出计算过程；
(2)求证：∠EAF=∠CGH；
(3)将五边形DEFGH的位置不动，在图②中用实线补全拼接后得到的正方形，并标出图中所有线段的长(在不添加新线段的条件下)。
三、解答题(本题满分7分)
30．如图，∠MBN的两边BM、BN上分别有两点A、C，满足BC=2BA，作ABCD，取AD的中点E，作CF⊥CD，CF与AB所在的直线交于点F。(1)当∠B=90°时，直接写出∠DEF的度数；
(2)在射线BM绕B点旋转的过程中，
若∠B=
，
(
，
)，求
关于的函数解析式及相应自变量的取值范围。北京市西城区2007—2008学年度第二学期抽样测试
初二数学试卷参考答案及评分标准
A卷[达标卷] 满分100分
一、精心选一选(1～8题每题3分，第9、10题每题2分，共28分)
1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．A 10．C
二、细心填一填(第11～19题每题3分，第20题2分，共29分)
11．
12．2 13．
(若写成
不给分)14．61 15．0 16．18 17．21 18．
19．
或
或
(每个答案1分)。20．
三、解答题(共5个小题，共30分)
21．(每小题4分，满分8分)
(1)解：
…………3分
………………4分(2)解：
…………3分
.………………4分22．(第(1)小题3分，第(2)小题4分)
(1)解：原方程可化为
。…………1分解得
，
。…………3分(2)解：因为
，
，
，所以
…………1分代入公式
，………………2分得
所以原方程的解为
，
.…………4分23．(本小题满分5分)
(1)证明：如图1，∵ AE平分∠BAD，∴ ∠1=∠2。∵
ABCD，∴ AD∥BC。 ∴ ∠2=∠3。∴ ∠1=∠3。
∴ BE=BA.………………2分
(2)解：当∠B=70°时，由(1)得∠3=
。∵ EF⊥AE， ∴ ∠4=90°-∠3=35°。
∵
ABCD，∴ AB∥CD。∴ ∠C=180°-∠B=110°。
∴ ∠CFE=180°-∠C-∠4=35°。………………4分
(3)答：当AB、BC满足
(或
)时，点F能与点D重合。……5分24．(本小题满分4分)
解：(1)乙的众数为15。…………1分
(2)
；………………2分(3)①应选乙去，因为在平均成绩相同的情况下，乙的方差比甲小，成绩稳定；…………3分
②应选甲去，因为甲在后几天的成绩比乙好，潜力大，夺冠可能性大。………………4分
阅卷说明：只要学生叙述理由有道理即可得分。
25．(本小题满分6分)
(1)答：
；………………1分
(2)如图2-1，∵ 两张纸片都是矩形，
∴ AD∥BC，AB∥DC。
∴ 四边形ABCD为平行四边形。…………2分
∵ DE⊥AB，BF⊥AD，
∴ ∠AED=∠AFB=90°。
又∵ ∠EAD=∠FAB，DE=BF，
∴ △ADE≌△ABF。
∴ AD=AB。………………3分
(或利用面积关系写出AB·DE=AD·BF得到AD=AB)
∴ 四边形ABCD是菱形。…………4分
(3)存在最大值和最小值。
①当AC为两张矩形纸片的公共对角线时(如图2-2)，
设
，则
，
。在Rt△BCG中，有
，解得
，此时周长最大值为17。②当∠DAB=90°时(如图2-3)，菱形ABCD为正方形，此时周长最小值为8。…………6分
阅卷说明：最值正确而且图形正确才能给分，最大值和最小值各1分。
四、解答题(本题满分6分)26．(1)如图3，作DF⊥BC于点F。…………1分
∵ BD=CD=10，BC=12，DF⊥BC，
∴ BF=CF=6，
……2分由题意得
，
，∵ AD∥BE，
∴
关于
的函数解析式为
。…………3分∵ 点E在CB上运动，可与点C重合，不可与点B重合，(此时四边形ABED不存在)
∴
，自变量t的取值范围是
。…………4分(2)∵
，∴ 要使
，只需
。解得
.…………5分∴ t的值为4时，四边形ABED的面积与△DEC的面积相等。
此时BE=12-2t=4=AD(如图4)，又由于AD∥BE，
∴ 此时四边形ABDE为平行四边形。………………6分
五、解答题：(本题满分7分)
27．(1)解：∵ C点在直线
上，C点的横坐标为
，∴
，C点的坐标为
。…………1分∵ C点在反比例函数
的图象上，∴ 将C点的坐标代入
，得
。∴ 反比例函数的解析式为
…………2分(2)∵ D点在直线
上，∴ 可设D点的坐标为
，∵ D点在反比例函数
的图象上，∴
，整理，得
。
解得 
，
。所以D点的坐标为
…………3分由勾股定理得OC=OD，
，
。∴ BC=AD。
由题意得，A点、B点的坐标分别为A(1，0)，B(0，1)。
∴ OA=OB=1。
∴ △BOC≌△AOD。…………4分
(3)E点的坐标为
(见图5)…………7分阅卷说明：E点的三种情况各1分；E点的坐标和相应图形都正确才能得分；如果三个图形都正确但坐标错误得1分。
B卷 [提升卷] 满分20分
一、填空题(每空2分，共6分)
28．
，
，
二、解答题(本题满分7分)
29．(1)解：如图6-1，∵ 矩形ABCD，∴ ∠B=∠C°=90°。
Rt△CGH中，
，∴
。…………1分∵
，Rt△ABG中，
………2分∴
由题意可知，
，所以拼得正方形的边长为12。…………3分
(2)证明：∵AE=GC，AF=GH，EF=CH，
∴ △AEF≌△GCH。…………4分
∴ ∠EAF=∠CGH。…………5分
(3)答案见图6-2。…………7分
阅卷说明：图形正确1分，线段标注正确1分。
三、解答题(本题满分7分)
30．
解：(1)∠DEF=
°；…………2分(2)对∠B的大小分三种情况讨论如下：
①当
时，点F在线段AB上(见图7-1)。延长FE，并与CD的延长线交于点G，记∠AFE=
。∵
ABCD，
∴ AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠3=∠B=x°。∴ ∠DGE=∠AFE=
。可得 △AEF≌△DEG。
∴ EF=EG，CE为Rt△CFG斜边的中线。
∴ EF=EG，∠1=∠G=
。∵ BC=2AB，
∴ 2DE=2CD，DE=CD。
∴ 等腰三角形△CDE中，∠1=
。∴
…………3分
<1>当∠B=90°时，点F与点B重合，(见图7-2)
此时∠DEF=135°，
，所以
仍成立。…………4分(阅卷说明：∠B=90°的情况由(1)的答案直接得出或画图说明，只要在自变量的取值范围中正确反映出来即可得到这一分)
<2>当∠B=60°时，点F与点A重合，∠DEF=180°不合题意(见图7-3)。
②当
时，点F在线段AB的延长线上(见图7-4)。与①同理可得
。…………6分
③当
时，点F在线段BA的延长线上(如图7-5)。与①同理可得CE为Rt△CFG斜边的中线，EC=EG，DE=CD。
∴ △CEG和△CDE为等腰三角形。
在等腰三角形△CEG中，∠1=180°-2∠2，
在等腰三角形△CDE中，
，∴ ∠DEF=180°-∠3=180°-(∠CED-∠1)=360°-3∠2=
。…………7分综上所述，当
时，
；当
时，。阅卷说明：①分类的几种情况没有顺序要求；②30°、60°、90°几个分界点的情况结论正确即可给分；③每种情况的解答过程可以简略。
