撰稿：董嵩 审稿：徐晓阳 责编：张杨
一、教学目标
1．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得的结果是
否合理．
2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更
多的运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的应用价值．
二、教学重点和难点
1．重点是能列一元二次方程解决某些实际问题，并且归纳各类实际问题的数学模型和其使用的解法．
2．难点是列出解决实际问题的一元二次方程，并且根据实际意义对方程的根进行检验和取舍．
三、教学内容解析
对于本部分知识，人教版教材安排了“传播问题”、“增长率问题”、“几何图形面积问题”和“匀变速运动”．学习的时候，不仅要关注各种实际问题的类型，更要注意归纳解决各类实际问题所建立的方程模型，这也便于以后遇到类似问题时更高效地分析数量关系并解决问题．另外要注意总结，怎样解各种方程模型是最合理的，并将方程的解放到实际问题中进行解释、检验和应用，从而体会数学的应用价值．
列方程解应用题是一个难点，实际就是把文字语言转化成数学语言，正确找出所需的相等关系：
1．各种常见类型的应用题的统一
（1）增长率问题是同学们较难理解的题型，不少同学只是机械模仿，建议借助“倍数”的概念和“由一般到特殊”的方法帮助大家理解．
例如，某种一年期存款的年利率是2%，一年后本息和是本金的1.02倍，作自动转存，第二年的本息和是前面所说的一年后本息和的1.02倍，所以第二年的本息和是原来本金的
倍，即
倍；某种一年期存款的年利率是
，一年后本息和是本金的
倍，作自动转存，第二年的本息和是前面所说的一年后本息和的倍，所以第二年的本息和是原来本金的
倍，即
倍．（2）“握手问题”是一种常见的计数问题，建议归纳这种方程的模型，提高认识．
对于以下几种数学问题，它们实质上都属于握手问题的模型
（
为正整数）．①计算握手的次数：
个同学为表示友好，他们彼此握手，则握手总次数为
；若他们彼此通信，则信件的总件数为
；②计算比赛场次：
支球队进行足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），总共比赛的场次为
；若赛制改为单循环形式（每两队之间都赛一场），总共比赛的场次为；③计算多边形的对角线：凸
边形的对角线条数为
．2．归纳各种方程模型的解法和对结果的检验
增长率问题的方程模型为
，一般采取直接开方法求根．对于结果要注意区分，增长率可以大于1，即
；而减低率不可以大于1，即
．某些经济问题和面积问题的方程模型为
，一般采取因式分解法或公式法求解（结果要近似计算），结果要同时符合
、
两个要求；物体加速度问题要注意分步求解，由于其物理过程分析较为复杂，因此建议不作为每个同学学习的重点．
3．例题分析
1．增长率问题：对比传染问题和树杈问题（一）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了
个人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了
个人，用代数式表示，第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，用代数式表示，第二轮后共有
人患了流感．解：设每轮传染中平均一个人传染了
个人，依题意列方程，得
．即
．用直接开平法解方程，得
，
检验：
不合题意，∴舍去，∴
．答：平均一个人传染了10个人．
思考：（1）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有
人患流感？（2）
轮以后呢？——
小结：此类问题的数学模型为
，用直接开方法解此种方程，并舍去负根．（二）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
分析：设每个支干长出x个小分支，
主干长出了
个支干，每个支干又长出了个小分支，用代数式表示，主干、支干、小分支共有
．解：设每个支干长出x个小分支，依题意列方程，得
．解得
，
．检验：
不合题意，∴舍去，∴
．答：每个支干长出9个小分支．
小结：此问题与传染问题的最大区别是，每个主干不长小分支，而第一个传染源还会继续传染别人，因此列代数式时，总量分别为
和
，这一点在列方程时要特别注意．2．春秋旅行社为吸引市民去天水湾风景区旅游，推出如下收费标准：（1）如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；
（2）如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．
（3）某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元．
请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
分析：此问题为分段计费问题，关键人数为25人；若超过25人的人数为x人，则人均降低的费用为20x元，用代数式表示所需支付给旅行社的总费用为
．解：设超过25人的人数为x人，依题意，
．解得
，
．当
时，人均费用为
，所以舍去，
．25+5=30（人）
答：该单位这次共有30人去旅游．
3．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于
，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于
吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．分析：（1）铁丝分成两段，可以设其中一段长xcm，则另一段长
cm，要做成两个正方形，则它们的边长分别为
和
，其面积之和为
．解：设一段铁丝的长为
cm，则另一段铁丝的长为cm，（1）依题意列方程，得
．解得
，
．（两解均符合题意）答：这段铁丝剪成两段后，一部分长4cm，一部分长16cm．
（2）依题意列方程，得
，即
．∵
，∴方程无实根，∴不能按题目要求构造出图形．思考：可以组成的两个正方形的面积之和最大值是多少？
提示：将
配方，可求出最大值．小结：对于具有一元二次方程模型的实际问题，求解之后要对根进行检验．一般地，要考虑以下一些情况：（1）根为正数；（2）根为整数；（3）根要符合特殊关系（取值范围）．而对于存在性问题，无实根说明符合题意的情况不存在；而有实根但不符合特定要求，也说明符合题意的情况不存在．
