八年级下学期数学期末复习――几何部分
一．复习范围与知识要点：
1．勾股定理及逆定理：
　　了解逆命题、逆定理的概念，会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理逆定理判定直角三角形；
　　（1）注重”数形结合、方程”等思想方法；
　　（2）与三角形知识结合：
　　　　 ① 对特殊角的认知.如，等（不破坏有用角）
　　　　 ② 适度扩展解三角形的方法技巧，已知两边及夹角，求解三角形（图形的割补）
　　　　 ③ 在求解三角形中注意分类讨论

2．四边形：
　　（1）主要内容：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形的定义、性质、判定；
　　（2）重点与难点： 是平行四边形的定义、性质、判定；平行四边形与各种特殊四边形之间的联系与区
　 别是本章的难点.
　　（3）关键点及学习能力：分清它们的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，是克服这一难点的关
　 键；注重观察能力、计算能力、逻辑推理、归纳概括能力以及几何图形的变换能力的训练和培养.

二．例题分析：
　　1．（北京09）阅读下列材料：
　　小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示， 将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是:按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续
操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.
　　请你参考小明的做法解决下列问题：
　　（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形．
　 　　　要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
　　（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，分别连
　 　　　结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ.
　　请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）.
　　　　　　　　　　

　　解：
　　（1）拼接成的平行四边形是__________（如图3）．（答案为：ABCD）
　　（2）正确画出图形（如图4）．
　　　　 平行四边形MNPQ的面积为 ．

　　2.（北京09）在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段 EF（如图1）.在图1中画图探究：
　　①当为射线CD上任意一点（不与C点重合）时，连结，将线段绕点E逆时针旋转90°得到线段
　　　.判断直线与直线CD的位置关系并加以证明；
　　②当点为线段DC的延长线上任意一点时，连结，将线段绕点E逆时针旋转90°得到线段.
　　　判断直线与直线CD的位置关系，画出图形．并直接写出你的结论.
　　　　　　　　　　　
　　解：①直线与直线CD的位置关系为 互相垂直 ．
　　证明：如图3，设直线与直线CD的交点为H．
　　　　　∵ 线段、分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF 、，
　　　　　∴ ，，．
　　　　　∵ ，
　　　　　，
　　　　　∴ ．
　　　　　∴ △≌△．
　　　　　∴ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3
　　　　　∵ ，
　　　　　∴ ．
　　　　　∴ ．
　　　　　∴ ．
　　　　　∴ ．
　　　　　∴ ⊥CD．
　　②按题目要求所画图形见图3，直线与直线CD的位置关系为__________。（互相垂直）

　　3．已知：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠A=60°，BC=4，求CD的长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1
　　解：连结BD，作DE⊥BC于点E．（如图2）
　　　　∵ AB=AD =2 ，∠A=60°，
　　　　∴ △ABD为等边三角形，BD =2，∠ADB=60°．
　　　　∵ AD∥BC ，
　　　　∴ ∠DBC=60°．
　　　　在Rt△BDE中，∠BED=90°，∠DBE=60°，
　　　　∴ DE＝，BE＝1．
　　　　在Rt△CDE中，∠CED=90°，，
　　　　∴ ．

　　4．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如：如图4—1,平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4—1
　　（1）如图4—2，已知平行四边形ABCD, 请你在图4—2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要
　 　　　求：画出必要的辅助线）；
　　（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图4—3、图4—4中S₁,
　 　　　S₂, S₃, S₄四者之间的等量关系(S₁, S₂, S₃, S₄分别表示△ABP, △CBP, △CDP, △ADP的面积)：
　 　　　① 如图4—3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是__________；
　 　　　② 如图4—4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是__________.
　　　
　　 　　　　图4—2 　　　　　　　　　　图4—3 　　　　　　　　　　　图4—4
　　解：
　　（1）比如： 或
　　（2）①S₁ +S₄ = S₂ +S₃, S₁ +S₃ = S₂ +S₄或S₁×S₃ = S₂×S₄或等.
　 　　　②S₁×S₃ = S₂×S₄或等.

　　5．已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧.
　　（1）如图5，当∠APB=45°时，求①AB的长， ②PD的长；
　　（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图5
　　解：（1）①如图5—1，作AE⊥PB于点E．
　　 　　　　∵ △APE中，∠APE=45°，，
　　 　　　　∴AE=PE=1,
　　 　　　　∵ ， ∴ ．
　　 　　　　在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
　　 　　　　∴ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图5－1
　　 　　　　②解：如图5—2，因为四边形ABCD为正方形，
　　 　　　　可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△，
　　 　　　　可得△≌△，,．
　　 　　　　∴ =90°，=45°，=90°．
　　 　　　　∴ ．
　　 　　　　∴．
　　　　（2）如图14所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△，
　　 　　　　PD 的最大值即为的最大值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图5－2
　　 　　　　∵ △中，，，，
　　 　　　　且P、D两点落在直线AB的两侧，
　　 　　　　∴ 当三点共线时，取得最大值（见图15）.
　　 　　　　此时，即的最大值为6.
　　 　　　　此时∠APB=180°－=135°.
　　　　　　　　　　　　

　　6．将图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
　　　　　　
　　　　　　　　　　图① 　　　　　　　　　　　　　图②　　　　　　　　　　 图③
　　（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
　　（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且
　 　　　△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
　　（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是__________；
　　（4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是__________.
　　解答：
　　（1）　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　 　　　　　（说明：只需画出折痕.）
　　（2）　　　　　　
　　 (说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可.)
　　（3）三角形的一边长与该边上的高相等.
　　（4）对角线互相垂直。

　　7．已知：如图，△ABC中， AC＜AB＜BC．
　　（1）在BC边上确定点P的位置，使∠APC=∠C．画出图形，不写画法；
　　（2）在图中画出一条直线l，使得直线l分别与AB、BC边交于点M、N，并且沿直
　 　　　线l将△ABC剪开后可拼成一个等腰梯形．
　 　　　请画出直线l及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．
　 　　　说明：本题只需保留作图痕迹，无需尺规作图．
　　解：（1）答案见图1（任选一种即可）．
　　　　（2）答案见图2．
　　　　　　 剪拼方法：取AB的中点M，过点M作AP的平行线l，与BC交于点N ，过点A作BC的平行线，与l交
　　　　　　 于点H，将△BMN绕点M顺时针旋转180°到△AMH，则四边形ACNH为拼接后的等腰梯形．