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二次根式
一、知识结构：
二、知识要点：
1．关于二次根式的概念，要注意以下几点：
（1）从形式上看，二次根式是以根号“ ”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。如
 ， 等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；
（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘
法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理
式就叫做二次根式的系数；
（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含
字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；
（4）象“ ， ”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。
2．二次根式的主要性质：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）积的算术平方根的性质： ；
（5）商的算术平方根的性质： ；
（6）若 ，则 。
3．注意与的逆用。
4．二次根式的运算：
（1）二次根式的乘除运算：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变。
由特殊到一般，理解二次根式乘除运算法则的合理性；
明确运算结果的要求，不断归纳运算结果应满足的两个要求：
①应为最简二次根式（包括两个条件）或有理式；②分母中不含根号。
（2）二次根式的加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合
并。
二次根式的加减运算需要先化为最简二次根式，再类比整式加减运算中的合并同类项，二次根式
加减运算的实质是合并同类二次根式。
（3）二次根式的混合运算
整式的运算顺序、运算法则、公式和运算律在二次根式的运算中同样适用。
三、例题分析：
 1．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？
 ， ， ，， ， ，， ， ，
 ，，  ， ， ， 。
解：二次根式有：，，，，，，
2． 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；（2） ； （3） ； （4） ； （5） ；
（6） ；（7） ； （8）；（9） 。
解：（1） （2） （3）
（4） （5）为任何数 （6）且
（7） （8）且 （9） 且
3．当 ________时， 。
解：∵  ∴ 
4．在 、 、 、 、 、、 、 中，最简二次根式有____。
解析：最简二次根式满足：
（1）被开方数中不含有分母、分数、小数
（2）被开方数中因数或因式的指数小于根指数
∴ 最简二次根式有：，，。
5．在实数范围内分解因式： ________； ________。
解析：原式 原式
6．若、 为实数，。求 的值。
解：∵  ∴  ∴  ∴ 
7．已知 求、 、 的值。
解：∵  ∴ 
8．已知，，为三角形的三边，则 _____。
解：∵  ∴ 原式 
9．比较大小（1） ；（2）
解：（1）∵   且
∴ 
（2）∵ 
∴  ∴ 
总结：常用的比较大小的方法
1．两上实数a，b比较大小，一般有“比”与“较”两种方法：
①将两个实数相除（比）：若 ，当 时，则 ；当 时，则 。
若 ，则
若 ，当时，则；当时，则。
②将两个实数相减（较）：若 ，则；
若 ，则；
若 ，则。
2．除此之外，还有以下常用方法：
（1）估算法； （2）被开方数比较法； （3）平方比较法；
（4）倒数的比较法； （5）设参数比较法； ※（6）分子有理化比较法。
练习：比较下列各根式或含有根式的代数式的大小：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
答案：（1）＞ （2）＞（3）＞ （4）＜ （5）＜ （6）＜
10．若最简二次根式 与最简二次根式 可以合并，则的取值为________。
解：可以合并的根式是同类根式。
∴ 
∴
11．①已知： ， ,求 的值。
解：由已知： ∴ 
②已知： ，求：（1） 的值；（2） 的值
解：（1）∵  ∴ 
（2）∵  ∴ 
③已知： ， ，求 的值
∵
∴ 
④已知，求 的值。
∵
∴ 
∴ 
∴ 
∴ 原式
⑤已知，求、、 的值。
∵ 
∴ 
∴ 
∴ 
⑥已知 ，求 的值。
∵
∴ 原式
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