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[组图]初三数学周末练习6(二次函数综合题)

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初三数学周末练习6(二次函数综合题)
周末练习：
一、猜想、探究题：
　　1．已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与轴相交于A、B两点.且始终与轴相切于定点C(0，1).
　　(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；
　　(2)若二次函数图象的顶点为D，问当为何值时，四边形ADBP为菱形.
　　　　　　　　

　　2．如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，已知BC∥轴，点A在轴上，点C在轴上，且AC=BC.
　　(1)求抛物线的对称轴；
　　(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
　　(3)探究：若点P是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形.若存在，求出所
　 　　有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　3．已知抛物线(为常数)经过点(0，4).
　　(1)求的值；
　　(2)将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线，已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：
　 　　它的对称轴(设为直线)与平移前的抛物线的对称轴(设为直线)关于轴对称；它所对应的函数
　 　　的最小值为-8．
　 　　①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；
　 　　②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与轴相切，又与直线相
　 　　　交?若存在，请求出点P的坐标,并求出直线被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在,请说明理由．

　　4．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(-1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C．
　　(1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式．
　　(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式．
　　(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

二、动态几何：
　　5．如图，已知抛物线的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴与轴交于点D．点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．
　　(1)求点B和点C的坐标；
　　(2)设当点M运动了(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与的函数关系式，并指出自变量的取值范
　 　　围．
　　(3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形?若存在，求出点Q的坐标，若不
　 　　存在，说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　6．如图，直线与轴交于点A，与轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A，C和点B(-1，0)．
　　(1)求该二次函数的关系式；
　　(2)设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
　　(3)有两动点D，E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运
　 　　动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停
　 　　止运动．设D，E同时从点O出发秒时，△ODE的面积为S．
　 　　①请问D，E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明
　 　　　理由；
　 　　②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
　 　　③设是②中函数S的最大值，那么=________________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

参考答案：
一、猜想、探究题：
　　1．解：(1)连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥轴，垂足为H.
　　　　　　　∵ ⊙P与轴相切于点C(0，1)，
　　　　　　　∴ PC⊥轴.
　　　　　　　∵ P点在反比例函数的图象上，
　　　　　　　∴ P点坐标为(k，1).
　　　　　　　∴ PA=PC=k.
　　　　　　　在Rt△APH中，，
　　　　　　　∴ .
　　　　　　　∴
　　　　　　　∵ 由⊙P交轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB.
　　　　　　　∴ ，
　　　　　　　∴
　　　　　　　故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为.
　　　　　　　可见该抛物线解析式为
　　　　　　　又抛物线经过C(0，1)，B()，得：
　　　　　　　
　　　　　　　解得，.
　　　　　　　∴ 抛物线解析式为.
　　　　　 (2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(，)
　　　　　　　∴
　　　　　　　若四边形ADBP为菱形.则必有PH=DH.
　　　　　　　∵ PH=1， ∴ .
　　　　　　　又∵ ，∴
　　　　　　　∴ 当取时，PD与AB互相垂直平分，
　　　　　　　则四边形ADBP为菱形.

　　2．解：(1)抛物线的对称轴；
　　　　　 (2)A(-3，0) B(5，4) C(0，4)
　　　　　　　把点A坐标代入中，
　　　　　　　解得
　　　　　　　∴ ；
　　　　　 (3)存在符合条件的点P共有3个.
　　　　　　　以下分三类情形探索.
　　　　　　　设抛物线对称轴与轴交于N，与CB交于M.
　　　　　　　过点B作BQ⊥轴于Q，
　　　　　　　易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，.
　　　　　　　①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：.
　　　　　　　∴
　　　　　　　在中，
　　　　　　　∴ ；
　　　　　　　②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：
　　　　　　　在中，
　　　　　　　∴ ；
　　　　　　　③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即
　　　　　　　画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.
　　　　　　　过点作垂直轴，垂足为K，显然
　　　　　　　∴
　　　　　　　∵ ∴ 于是
　　　　　　　∴ .

　　3．解：(1)依题意得：，解得；
　　　　　 (2)①由(1)得：，∴ 对称轴为直线
　　　　　　　依题意平移后的抛物线的对称轴为直线
　　　　　　　故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为
　　　　　　　∵ 此函数最小值为-8， ∴
　　　　　　　即平移后的抛物线所对应的函数关系式为；
　　　　　　　②存在.理由如下：
　　　　　　　由①知平移后的抛物线的对称轴为直线
　　　　　　　当点P在轴上方时，∵⊙P与轴相切，故令，
　　　　　　　解得
　　　　　　　此时点，与直线之距均为，
　　　　　　　∵ ， ∴ ⊙，⊙均与直线相离.
　　　　　　　故点，不合题意，应舍去.
　　　　　　　当点P在轴下方时，∵ ⊙P与轴相切，故令，
　　　　　　　解得
　　　　　　　此时点，与直线之距均为
　　　　　　　∵ ， ∴ ⊙，⊙均与直线相交，
　　　　　　　故点，符合题意.
　　　　　　　此时弦
　　　　　　　综上，点P的坐标为或，
　　　　　　　直线被⊙P所截得的弦AB的长为4.

　　4．解：(1)连结PC. ∵ A(4，0)，B(-1，0)，∴ AB=5.
　　　　　　　∵ P是AB的中点，且是⊙P的圆心，
　　　　　　　∴ ，
　　　　　　　∴
　　　　　　　∴ C(0，2).
　　　　　　　设经过A、B、C三点的抛物线解析式为
　　　　　　　，
　　　　　　　∴ . ∴ .
　　　　　　　∴ 抛物线解析式为.
　　　　　　　即
　　　　　 (2)将配方，得，
　　　　　　　∴ 顶点.
　　　　　　　设直线MC为，则有
　　　　　　　解得
　　　　　　　∴ 直线MC为
　　　　　 (3)直线MC与⊙P相切.
　　　　　　　证明：设MC与轴交于点N，在中，令，得.
　　　　　　　　　　∴ ，，
　　　　　　　　　　.
　　　　　　　　　　∴
　　　　　　　　　　∴ ∠PCN=90°.
　　　　　　　　　　∴ MC与⊙P相切.

二、动态几何：
　　5．解：(1)把代入得点C的坐标为C(0，2)，
　　　　　　　把代入得点B的坐标为B(3，0)；
　　　　 　(2)连结OP，设点P的坐标为
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　∵ 点M运动到B点上停止，∴
　　　　　　　∴ ；
　　　　　 (3)存在.
　　　　　　　
　　　　　　　①若
　　　　　　　∵ ，
　　　　　　　∴ ∴
　　　　　　　∴
　　　　　　　∴
　　　　　　　所以点Q的坐标为.
　　　　　　　②若
　　　　　　　∵ △BQM∽△BCO，
　　　　　　　∴
　　　　　　　∴ ∴
　　　　　　　∵ ∴
　　　　　　　∴ ∴
　　　　　　　所以点Q的坐标为.

　　6．解：(1)令，则；
　　　　　　　令则. ∴
　　　　　　　∵ 二次函数的图象过点C(0，4)
　　　　　　　∴ 可设二次函数的关系式为
　　　　　　　
　　　　　　　又∵ 该函数图象过点A(3，0)，B(-1，0)
　　　　　　　∴
　　　　　　　解之，得，.
　　　　　　　∴ 所求二次函数的关系式为；
　　　　　 (2)∵
　　　　　　　∴ 顶点M的坐标为
　　　　　　　过点M作轴于F
　　　　　　　∴
　　　　　　　
　　　　　　　∴ 四边形AOCM的面积为10；
　　　　 　(3)①不存在DE∥OC
　　　　　　　∵ 若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，
　　　　　　　此时，在Rt△AOC中，AC=5.
　　　　　　　设点E的坐标为 ∴ ，∴
　　　　　　　∵ ，
　　　　　　　∴ ∴
　　　　　　　∵ ，不满足
　　　　　　　∴ 不存在
　　　　　　　②根据题意得D，E两点相遇的时间为
　　　　　　　(秒)
　　　　　　　现分情况讨论如下：
　　　　　　　i)当时，；
　　　　　　　ii)当时，设点E的坐标为
　　　　　　　∴ ， ∴
　　　　　　　∴ ；
　　　　　　　iii)当时，设点E的坐标为，类似ii可得
　　　　　　　设点D的坐标为
　　　　　　　∴ ，
　　　　　　　∴
　　　　　　　∴
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　 ；
　　　　　　　③.

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