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[组图]圆心角、弧、弦、圆周角

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圆心角、弧、弦、圆周角
学习要求：
　　1．理解并初步掌握弧、弦、圆心角的相互对应的关系，会证明两条弦等、两条弧等，两个圆心角等；
　　2．掌握圆周角定理及推论，能在圆中熟练地进行角的相互转化，从而通过解直角三角形或利用相似的
　 　　知识求相关的线段长或证明比例线段.

内容分析：
1、圆心角、弧、弦的关系
　　在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的两条弧、两条弦也分别对应相等；
　　在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的两个圆心角、两条弦也分别对应相等；
　　在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的两个圆心角、所对的两条优弧、两条劣弧也分别对应相等.

2、圆周角
　　(1)定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角.
　　(2)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
　　　 推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
　　　 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
　　　 推论3：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角.

3、学好本单元内容的两个关键：
　　(1)同弧或等弧是沟通圆周角之间、圆心角与圆周角之间联系的桥梁，利用同弧或等弧进行圆周角之间
　　　 的相互转化是解决问题的关键；
　　(2)通过作弦心距或直径将一般的圆周角转化到特殊的直角三角形中，是解决问题的关键.

例题分析：
　　1、判断下列各命题是否正确.
　　(1)相等的圆心角所对的弧等；
　　(2)相等的弧所对的圆心角相等；
　　(3)圆周角等于圆心角的一半；
　　(4)直径所对的角是直角；直角所对的弦是直径.
　　【分析】
　　(1)错. 没有强调在同圆或等圆中.
　　(2)对．等弧已隐含了在同圆或等圆的条件.(当等弧作条件时，可以不强调“在同圆或等圆中”，而当
　 　　　　等弧作为结论时，则必须要在条件中强调同圆或等圆中)
　　(3)错. 只有当圆周角和圆心角对着同一条弧或相等的弧时才有这种关系.
　　(4)错. 直径、圆周角、直角三个条件缺一不可.

　　2、已知，如图，⊙O是的外接圆，∠A=60°，BC=12，求⊙O的半径的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解法一：过O作OD⊥BC于D，连接OB.
　　　　　　则BD=BC=6，∠BOD=∠BOC.
　　　　　　∵∠A=∠BOC， ∴∠BOD=∠A=60°
　　　　　　在Rt△BOD中，∠BOD=60°，
　　　　　　∴BO=
　　　　　　∴⊙O的半径的长为.
　　解法二：作直径BE，连接CE.
　　　　　　则∠BCE=90°.
　　　　　　又∠A=∠E=60°
　　　　　　∴在Rt△BCE中，BE=
　　　　　　∴⊙O的半径的长为.
　　【小结】在圆中，常常作弦心距或直径，将圆周角转化到直角三角形中，通过解直角三角形从而解决问题.

　　3、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是弧AC上一点，延长DC、AM交于F，求证：∠FMC=∠AMD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：
　　方法一：如图，连结AD.
　　　　　　∵四边形ADCM是圆内接四边形
　　　　　　∴∠FMC=∠ADC
　　　　　　∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB
　　　　　　∴
　　　　　　∴∠AMD=∠ADC
　　　　　　∴∠FMC=∠AMD.
　　方法二：如图，连结MB
　　　　　　∵AB是⊙O的直径，
　　　　　　∴∠FMB=∠AMB=90°
　　　　　　∵弦CD⊥AB
　　　　　　∴
　　　　　　∴∠CMB=∠DMB
　　　　　　∴∠FMC=∠AMD.

　　4、已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD.
　　(1)求证：DB平分∠ADC；(2)若BE=3，ED=6，求AB的长.
　　解：(1)∵AB=BC
　　　　　 ∴
　　　　　 ∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC.
　　　　(2)∵
　　　　　 ∴∠BAE=∠ADB
　　　　　 又∠ABE=∠DBA
　　　　　 ∴△ABE∽△DBA
　　　　　 ∴
　　　　　 ∵BE=3，ED=6， ∴DB=9
　　　　　 ∴
　　　　　 ∴AB=.
　　【小结】在圆中常常利用圆周角定理及它的推论来证明角相等，近而通过证明三角形相似来解决问题，沟通角之间关系的桥梁往往是同弧或等弧.

　　5、已知：BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，，BF和AD相交于E，求证：AE=BE.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：
　　方法一：如图，
　　　　　　连结OA、AB
　　　　　　∵
　　　　　　∴OA⊥BF
　　　　　　∵AD⊥BC
　　　　　　∴∠DAO+∠AEF=∠EBD+∠BED=90°
　　　　　　∵∠AEF=∠BED
　　　　　　∴∠DAO=∠EBD
　　　　　　∵OA=OB
　　　　　　∴∠BAO=ABO
　　　　　　∴∠ABE=∠BAE
　　　　　　∴AE=BE.
　　方法二：如图，
　　　　　　延长AD交⊙O于H，连结AB
　　　　　　∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC
　　　　　　∴
　　　　　　∵
　　　　　　∴
　　　　　　∴∠ABE=∠BAE
　　　　　　∴AE=BE.
　　方法三：如图，
　　　　　　连结AC，AB
　　　　　　∵BC为⊙O的直径
　　　　　　∴∠BAC=90°
　　　　　　∵AD⊥BC
　　　　　　∴∠BAE+∠DAC=∠DAC+∠ACD=90°
　　　　　　∴∠BAE=∠ACD
　　　　　　∵
　　　　　　∴∠ACD=∠ABE
　　　　　　∴∠ABE=∠BAE
　　　　　　∴AE=BE.
　　【提示】此题还可证明AB2=BE·BF；BE·BF=BD·BC等，请同学们自己尝试一下.

来源：中国哲士网

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