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四边形复习
【教学目标】
探索并掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的意义，性质，判定方法，四边形的学习要善于采用“类比”的方法，从“一般到特殊”的认识规律。
【典型例题】
 1、在□ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm 和3cm两部分，则□ABCD的周长为____________．
【考查内容】平行四边形的性质．
解：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2．
∵在□ABCD中，AD//BC
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3，∴AB=BE
（1）当BE=4cm时，AB=4cm，CE=3cm，∴□ABCD的周长为22cm；
（2）当BE=3cm时，AB=3cm，CE=4cm，∴□ABCD的周长为20cm；
综上所述，□ABCD的周长为20cm或22cm．
2、已知，如图，△ABC中，D为AB的中点，E是AC上的一点，EF//BD，DF//BE，则 DF与AE间的关系
是____________．
【考查内容】平行四边形的性质与判定．
解：连结AF、DE
∵EF//BD，DF//BE
∴四边形BDFE为平行四边形．
∴EF=BD
∵D为AB的中点，∴AD=BD
∴EF=AD
∵EF//AD
∴四边形ADEF为平行四边形．
∴DF与AE互相平分．
3、如图，在 中， 是 边上的一点， 是 的中点，过点 作的平行线交 的延长线于 ，且 ，连接 ．
（1）求证：是的中点；
（2）如果 ，试猜测四边形 的形状，并证明你的结论．
【考查内容】矩形的判定
解：（1）∵E为AD的中点，∴AE=DE．
∵AF//BD，∴∠AFE=∠EBD．
又∵∠AEF=∠BED
∴△AEF≌△DEB(AAS)
∴AF=BD
∵AF=CD，∴BD=CD
∴点D为BC的中点．
（2）∵AF//BC，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB=AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°．
∴□ADCF为矩形．
4、如图，已知□ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，求该平行四边形的面积．
【考查内容】平行四边形的面积的求法。
解：过点D作DE//AM，交BC延长线于点E，
过点D作DF⊥BE于F．
∵在□ABCD中，AD//BC，∴四边形ADEM为平行四边形．
∴DE=AM=9，EM=AD=10．
∵M为BC的中点，∴BM=5，∴BE=15
∵BD2+DE2=BE2，∴∠BDE=90°．
∴BD·DE=BE·DF，即12×9=15·DF，∴DF= ．
∴ ．
5、如图，在梯形ABCD中，AD//BC， ．若AC⊥BD，AD+BC= ， 且 ， 求CD的长．
【考查内容】梯形中常见的辅助线的添加。
解：过点D作DE//AC，交BC延长线于点E，
过点D作DF⊥BC于F
∵AD//BC，∴四边形ADEC为平行四边形．∴CE=AD，DE//AC，DE=AC．
∴BE=BC+CE=BC+AD=．
∵在梯形ABCD中，AD//BC，，AC⊥BD，
∴AC=BD，DE⊥BD，DE=BD
∴△BDE为等腰直角三角形，∴DF= ．
∵∠DCB=∠ABC=60°，∴CD=10．
6、如图，已知BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点．
求证：（1）EM=DM；（2）MN⊥DE．
【考查内容】直角三角形的斜边中线等于斜边的一半。
证明：∵BD、CE是△ABC的两条高
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵在Rt△BDC中，M为BC的中点，
∴DM= BC．
同理可得，EM=BC
∴DM=EM
∵点N是DE的中点，∴MN⊥DE．
7、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD,在折叠使AD边与对角线BD重合，得折线DG, 若AB=2, BC=1, 求AG.
【考查内容】矩形中折叠问题，关注折叠前后的对应边和对应角。
解：设AG=x，
由题意得， =90°，BG=2- x，
 ，
∵AD=1，AB=2，∴BD= ∴ ．
∵在Rt△ 中， ，即 
∴AG= ．
8、如图1，在中， 为锐角，点为射线上一点，连结，以为一边且在的右侧作正方形 ．
（1）如果， ，
①当点在线段上时（与点 不重合），如图2，线段 所在直线的位置关系
为 __________ ，线段的数量关系为____________；
②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
  
（2）如果 ， 是锐角，点在线段上，当 满足什么条件时，
（点 不重合），并说明理由．
解：（1）①CF⊥BD，CF=BD；
②成立，理由如下：
∵在正方形ADEF中，AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠BAD+∠CAD =90°，∠CAF+∠CAD =90°
∴∠BAD=∠CAF
∵AB=AC，∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°．
∴∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°．
（2） 当∠ACB=45°时，CF⊥BD，理由如下：
过点A作AM⊥AC，交CB延长线于点M，
则△AMC为等腰直角三角形，
同上易证△AMD≌ACF（SAS）
∴∠AMD=∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴CF⊥BD．
练习：
1. 在□ 中，∠C=60°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F．
（1）则∠EDF=___________；
（2）如图，若AE=4，CF=7，则□周长=____________．
2．如图，在 ABC中，EF为ABC的中位线，Ｄ为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点Ｏ，连接DE、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______________．(只添加一个条件)
3. 如图，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为____________．
4. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E,且∠C＝2∠E.
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．
5. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在D’处，求重叠部分△AFC的面积。
6. 如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，
E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．
 
参考答案：
1、
2、点D为BC的中点
3、46cm
4、（1）略（2）10
5、10
6、（1）提示：可证出 （2）成立； （3）10
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