一、2009年北京市数学中考说明中对本章前两单元知识的要求：
| 考试内容 | A层次 | B层次 | C层次 |
| 一元二次方程 | 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义． | 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值． | |
| 一元二次方程的解法 | 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据． | 能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． | 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况；能由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题． |
二、主要内容：
1．一元二次方程：
经过整理后，两边都是整式，只含有一个未知数，并且朱知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方样的一般形式：
一般地，任何一个关于
的一元二次方程都可以化为
的形式，我们把形如
（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中
、
、
分别称为二次项、一次项和常数项．a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3．一元二次方程的根：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）．
4．直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法．用直接开平方法解形如
的方程，其解为
和形如
的方程，其解为
．特征：
（1）它适合于左边是一个关于未知数的完全平方，右边为一个非负常数的方程；
（2）用方程的两边直接开平方的方法来解．
5．配方法：
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
对于二次项系数是1的一元二次方程，配方法的步骤：
（1）先整理移项：整理后，把含有未知数的项移到左边，不含有未知数的项移到右边；
（2）方程两边分别加上一次项系数一半的平方；
（3）左边是一个完全平方，右边是一个非负常数（若为负数，则直接判断该方程无实根）；
（4）最后用开平方法来解．
对于二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，就转化为我们已经能解决的问题．即刚配方法解二次项系数是1的一元二次方程．
6．一元二次方程的求根公式：
对于任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
；当
时，一元二次方程的根都可以表示为
，这就是一元二次方程的求根公式。公式法：一般地，对于任何一个一元二次方程
都可以利用求根公式（），由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做公式法．7．因式分解法：
把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根．这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为零；
（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
用分解因式法解一元二次方程的注意点：
（1）必须将方程的右边化为零；（2）方程两边不能同时除以含有未知数的代数式．
因式分解的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法；
8．解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方样,一元二次方程有四种解法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
（1）直接开平方法：适用于缺一次项和换元后缺一次项的一元二次方程：（2）配方法：①适用于所有一元二次方程，但最好用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程；②配方法步骤：移项（二次项与一次项放在方程的左边，常数项放在方程的右边），二次项系数化成1（方程两边都乘以二次项系数的倒数），配方（方程两边都加上一次项系数一半的平方），因式分解，用直接开平方法继续解：（3）因式分解法：适用于一边是0，另一边易于因式分解的一元二次方程；因式分解的方法有提公因式法，公式法，十字相乘法；（4）求根公式法：公式
；运用求根公式法时注意：①原方程要化成一般形式；②各项系数包括符号。9．根的判别式：
我们把
叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“△”表示，即
。即一元二次方程：当
时，方程有两个不相等的实数根
，
；当
时，方程有两个相等的实数根
；当
时，方程没有实数根。反过来，有当方程有两个不相等的实数根
，时，；当方程有两个相等的实数根
，；当方程没有实数根，。例1：求证：方程
无实数根。证明： 利用
，方程没有实数根。10．（了解）一元二次方程根与系数的关系
定理的前提条件是：二次项系数
．根与系数的关系应让学生在观察多个根与系数较为简单的方程归纳得出结论，要求学生独立进行推导，遵循“实例——抽象——实例”的认知规律．可以结合学习完全平方公式时的知识，要求学生进行两根的平方和的计算，起到复习巩固旧知识的作用．小结时还可以引导学生找出方程
与其展开式
的联系．例2．已知方程
的一个根是2，求它的另一个根及
的值．解法1：根据根的定义，将
代入原方程得
①，求出系数
，进而解出方程的另一根．解法2：改另一根为
，则有和两个未知数，由根系关系，列出两个方程：
②；
③。从上面①②③三个方程中任选两个均可列方程组解出答案．
11．可化为一元二次方程的分式方程
本章书上没有涉及此内容，建议学生基础较好的学校补充一点简单的可化为一元二次方程的分式方程，学生已学过可化为一元一次方程的分式方程，知道解分式方程应“转化”为整式方程，在学新知识的同时也对旧知识进行了复习，另外可以让学生了解到出现了增根分式方程不一定无解．
例3．解方程
解得整式方程的解为
，
；经检验：
是增根，
是原方程的根。三、本章渗透的数学思想与方法
1．换元法
例4．解方程（1）
；解：设：
，则原式：
可得：
，
（2）
。解：设：
，
。可得
，
2．配方法和对称思想
配方法是代数式恒等变形中的一个重要方法，学生已经在学习完全平方公式时接触过，本章应用配方法直接解方程，进一步推出求根公式，更说明了其重要作用．配方法还可以灵活使用，用来求代数式的值．
四．一元二次方程的根的判别式
例1．不解方程判别方程根的情况：
（1）
（有两个不等的实数根） （2）
（无实数根）（3）
（有两个相等的实数根）例2．
为何值时，关于的二次方程
（1）有两个不等的实数根（
且
） （2）有两个相等的实数根（）（3）无实数根（
）例3．已知关于
的方程
有两个相等的实数根。求
的值和这个方程的根。（
或
）例4．若方程
有实数根，求正整数
的值。（
）例5．对任意实数m，求证：关于x的方程
无实数根。例6．
为何值时，方程
有实数根。（当
时，原方程有一个实数根，
；当
时，解得
，所以当
且
时方程有两个实数根。综上所述，当
时，方程有实数根。）例7．设
为整数，且
时，方程
有两个相异整数根，求的值及方程的根。（当
时，方程的根为
，
；当
时，方程的根为
，
）五．一元二次方程的应用
1．数字问题：
解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
2．几何问题：
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。
3．增长率问题：
在此类问题中，一般有变化前的基数（
），增长（下降）率（），变化的次数（
），变化后的结果（
），这四者之间的关系可以用公式
表示．一般采用直接开平方法求根，结果一般要符合
的要求．这类问题是学生较难理解的题型，不少学生只是机械模仿，建议借助“倍数”的概念和“由一般到特殊”的方法帮助学生理解．
例．某种一年期存款的年利率是2%，一年后本息和是本金的1.02倍，作自动转存，第二年的本息和是前面所说的一年后本息和的1.02倍，所以第二年的本息和是原来本金的
倍，即
倍；某种一年期存款的年利率是
，一年后本息和是本金的
倍，作自动转存，第二年的本息和是前面所说的一年后本息和的倍，所以第二年的本息和是原来本金的
倍．4．“握手问题”是一种常见的题型，建议归纳这种方程的模型
例．教材P34第7题：P46第7题；P53第6题；P58第6题．
它们实质上都属于握手问题模型
（为正整数）．5．面积问题要合理设未知数，
方程模型为
，一般采取因式分解法或公式法求解，结果要同时符合
、
两个要求；6．其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）
7. 典型例题：
例1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积．（3，4，5，面积为6）
例2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．（84）
例3．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册?（550，605）
例4．某人把500元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，剑期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率?（不计利息税） （10%）
例5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每大可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?（20元）
例6．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距
千米? （2分钟后）例7．某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的8%，该产品投放市场后由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数． （20%）
例8．如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走，速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过O点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米时，每个人的位置． （甲离O 84米，乙离O 13米）
例9．己知关于
的方程
①有两个相等的实数根．（1）求证：关于
的方程
②必有两个相等的实数根。（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式
的值．（14）例10．一次函数
和反比例函数
，（1）满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点?（2）设（1）中的两个公共点为A、B，∠AOB是锐角还是钝角?（（1）
且；（2）当
时，锐角；当
时，钝角。）
