一．知识结构
二．突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合．
在本章，重点研究了一些特殊的四边形，由于涉及的图形比较多，因此，本章涉及的图形的性质和判定方法也比较多．教学时要注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过各种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质．
【实践案例】
如教学“平行四边形的性质”
(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心：
(2)平行四边形的对边平行且相等：
(3)平行四边形的对角相等，邻角互补：
(4)平行四边形的对角线互相平分．
再如教学“平行四边形的判定方法”
再如教学矩形
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形的性质：(1)具有平行四边形的所有性质；
(2)对角线相等；
(3)四个角都是直角；
(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；
(2)有三个角是直角的四边形；
(3)对角线相等的平行四边形；
(4)对角线相等且互相平分的四边形．
[实践案例]
以下是平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识点对比．
| 名称 | 定义 | 性质 | 判定 | 面积 |
| 平 行 四 边 形 |
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 | ①对边平行； ②对边相等； ③对角相等； ④邻角互补； ⑤对角线互相平分；⑥是中心对称图形 |
①定义； ②两组对边分别相等的四 边形； ③一组对边平行且相等的 四边形； ④两组对角分别相等的四 边形； ⑤对角线互相平分的四边 形。 |
S=ah(a为一边长，h为这条边上的高) |
| 矩 形 |
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 | 除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 | ①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③定义。 | S=ab(a为一边长，b为另一边长) |
| 菱 形 |
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 | 除具有平行四边形的性质外，还有①四条边相等；②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 | ①四条边相等的四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形；③定义。 | ①S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)； ②  (b、c为两条对角线的长) |
| 正 方 形 |
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 | 具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 | ①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义。 | ① (a为边长)；②  (b为对角线长) |
三．精典例题解答：
1．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。
证明：（1）∵ AE=CF
∴ AE+EF=CF+FE 即 AF=CE
又ABCD是平行四边形，
∴ AD=CB，AD∥BC
∴ ∠DAF=∠BCE
在△ADF与△CBE中
∴ △ADF≌△CBE（SAS）
（2）∵ △ADF≌△CBE
∴ ∠DFA=∠BEC
∴ DF∥EB
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC，OB=OD
又∵ AE=CF
∴ OA+AE=OC+CF 即 OE=OF
∴ 四边形BFDE是平行四边形
3．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C’处，折痕DE交BC于点E，连结
。求证：四边形
是菱形。
证明：根据题意可知
则
，
，
∵ AD∥BC
∴
∴ ∠CDE=∠CED
∴ CD=CE
∴
∴ 四边形
为菱形4．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。
解：HG=HB。
证法1：连结AH，
∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形
∴ ∠B=∠G=90°由题意知AG=AB，又AH=AH
∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）
∴ HG=HB
证法2：连结GB
∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形
∴ ∠ABC=∠AGF=90°
由题意知AB=AG
∴ ∠AGB=∠ABG
∴ ∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB 即∠HBG=∠HGB
∴ HG=HB
5．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。 （1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相
交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；
（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为
，求旋转的角度n。
解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。
理由如下：
∵ 在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO，
∴ Rt△ADO≌Rt△AEO
∴ ∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE）
∴ AO⊥DE（等腰三角形的三线合一）
注：其它的结论也成立如GD⊥BE。
（2）∵ 四边形AEOD的面积为
∴ 三角形ADO的面积=
∵ AD=2
∴
∴ ∠DAO=30°
∴ ∠EAB=30°即旋转的角度是30°
6．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。 （1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。
证明：
（1）如图，∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°
又 ∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE
∴ △ADE≌△CDG
∴ AE=CG
（2）猜想：AE⊥CG。
证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N
∵ △ADE≌△CDG
∴ ∠DAE=∠DCG
又∵ ∠ANM=∠CND
∴ △AMN∽△CDN
∴ ∠AMN=∠ADC=90°
∴ AE⊥CG
7．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。
证明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC
∴ ∠BAD=∠DAC
∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线
∴ ∠MAE=∠CAE
∴
又∵ AD⊥BC，CE⊥AN
∴ ∠ADC=∠CEA=90°
∴ 四边形ADCE为矩形
（2）当
时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。证明：∵ AB=AC，AD⊥BC于D
∴
又
∴ DC=AD
由（1）四边形ADCE为矩形
∴ 矩形ADCE是正方形
8．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到
处，折痕为EF。（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。
证明：（1）由折叠可知：
，
，
∵ 四边形ABCD是平行四边形∴ ∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD
∴ ∠B=∠D′，AB=AD′
∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3
∴ ∠1=∠3
∴ △ABE≌△AD′F
（2）四边形AECF是菱形。
由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC
∴ ∠5=∠6
∴ ∠4=∠6
∴ AF=AE
∵ AE=EC
∴ AF=EC
又∵ AF∥EC
∴ 四边形AECF是平行四边形
∵ AF=AE
∴ 四边形AECF是菱。
9．如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
（1）求证：BP=DP；
（2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不
是，请用反例加以说明；
（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边
形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．
思路分析：（1）解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP．
解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．
（2）不是总成立．当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，
DP>DC>BP，此时BP=DP不成立．
说明：未用举反例的方法说理的不得分．
（3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等．
在图中，可证四边形PECF为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC．
从而有BE=DF
10．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．
解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．
11．如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°。点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动。（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围。
（2）设
，用t表示△AMN的面积。（3）求△AMN的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN的形状。
解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P。
由已知：
，
。∵ 四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，
∴ ∠PAN=∠D=30°。
在Rt△APN中，
，即点N到AB的距离为
。∵ 点N在AD上，
，点M在AB上，
，∴ x的取值范围是
。（2）根据（1），
。（3）∵
，∴ 当t=0时，即x=10时，
有最大值25。当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN。
此时，△AMN为等腰三角形。
12．（08通州22改编）如图，在
ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于G，GF交AD于O，设AE=CF=x，（1）试用含x的代数式表示△CGF的面积；
（2）当GF⊥AD时，求AE的值。
解：（1）∵ 在平行四边形ABCD中CD=AB=8，BC=AD=6
∵ DM=2，AD=6，∴ AM=4，
取AM、ME中点P、Q，则由中位线定理知，PQ∥AE且
。由AE∥GD可得PQ∥GD从而△DGM≌△PQM
∴
，
过点F作FN⊥CD于N，
∵ ∠C=∠A=60°，CF=x
∴ 
∴
（2）当GF⊥AD时，
∵ AD∥BC，∠GDA=∠A=60°
∴ ∠OGD=30°，GF⊥BC
∴ 在Rt△GFC中，
即：
∴
∴
∴ 当GF⊥AD时，
