本周教学目标：
1.理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式
(k为常数，
)，能判断一个给定函数是否为反比例函数.2.能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表
示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.
3.能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数
(k为常数，)的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.
4.对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过
程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思
想方法.
本周教学重点、难点：
1.重点：
反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.
2.难点：
反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.
一、经典内容解析
1.反比例函数的概念
(1)
(k≠0)可以写成
(k≠0)的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；
(2)
(k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
(3) 反比例函数
的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点.2.反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数
的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，故x应从1和-1开始对称取点.3.反比例函数的性质(与正比例函数对比)
| 函数解析式 | 正比例函数 y=kx (k≠0) | 反比例函数 (k≠0) |
| 自变量的 取值范围 | 全体实数 | x≠0 |
| 图 象 | 直线，经过原点 | 双曲线，与坐标轴没有交点 |
| 图象位置 (性 质) | 当k＞0时，图象经过一、三象限； 当k＜0时，图象经过二、四象限. | 当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限； 当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限. |
| 性 质 | (1) 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小. (2)  越大，图象越靠近y轴. |
(1) 当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小； 当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大. (2) 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直. |
(1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而
论.
(2) 正比例函数
与反比例函数
，当
时，两图象没有交点；当
时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.
(3) 反比例函数与一次函数的联系.
4.反比例函数
中比例系数k的几何意义(1)过双曲线
(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.(2)过双曲线
(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为
二、典型例题分析
1.反比例函数的增减性问题.
1．在反比例函数
图象上有两点A(
，
)，B(
)，当
时，有
，则m的取值范围是( ).A．m＜0 B．m＞0 C．m＜0.5 D．
分析：注意到
，可知A，B两点并不在同一象限内，因此不能轻易根据性质下结论，可以借助反比例函数图象去确定1-2m的取值范围，经过画图可以发现，符合题意的图象只能在第一、三象限，所以
，
，故选C.变式1：已知反比例函数
的图象上两点A(，)，B(
，
)，当时，有
，则m的取值范围是_________.变式2：若反比例函数
上，有三点A(，)，B(，)，C(
，)，且
，则，，的大小关系是________.(答案：1.m＞0.5； 2.
＞＞)2.反比例函数与图象的面积问题.
(1)求函数解析式
1．如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF的面积为3.求这个反函数的解析式.分析：利用反比例函数
的特点及矩形PEOF的面积为3，求k的值.解：设反比例函数为
，所以xy=k.因为矩形PEOF的面积=|x|·y=3，图象在第二象限，所以k=-3.
即反函数解析式为y=
.(2)求图形面积的问题
2.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、
B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，若点 A的坐标为(1，2)，求图中两个阴影面积的和.分析：利用反比例函数和圆的对称性求解.
解：由点A的坐标可知，圆的半径是1，又由反比例函数的对称性知，
两个阴影的面积和应为一个圆的面积，
因此图中两个阴影面积的和为
.(3)求特殊点组成图形的面积
3．如图，反比例函数y=
与一次函数y=-x+2的图象相交于A、B两点.
(1)求A、B两点的坐标；(2)求△AOB的面积.
分析：将△AOB的面积转化为△AOD与△BOD面积和求解.
解：(1)解方程组
得
所以A、B两点的坐标为A(-2，4)，B(4，-2).
(2)因为y=-x+2与y轴交点D的坐标是(0，2)，
所以S△AOD=
×2×2=2，S△BOD=
×2×4=4.所以S△AOB=2+4=6.3.反比例函数和一次函数的综合
1．函数y=
与 y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 
分析：这类问题，可以从题中的反比例函数图象着手，逆用反比例函数的性质，确定m的值，再将m的值代入一次函数y=mx-m(m≠0)中，去验证一次函数的图象是否正确.经历假设→验证→发现矛盾→推翻假设的过程，达到“牵一发而动全身”的目的.故选 C.
2．如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
解：(1) ∵ 点A(-4，2)和点B(n，-4)都在反比例函数y=
的图象上，∴
解得
又由点A(-4，2)和点B(2，-4)都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴
解得
∴反比例函数的解析式为
，一次函数的解析式为y=-x-2.(2) x的取值范围是x＞2或-4＜x＜0 .
3．直线y=k1x+b与双曲线y=
只有—个交点A(1，2)，且与x轴、y轴分别交于B，C 两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式.解：∵点A(1，2)在
上 ∴
， ∴
∴双曲线的解析式为
∵AD垂直平分OB，
∴OD=1，OB=2
∴B(2，0)
∵A(1，2)，B(2，0)在直线
上∴
解得
∴直线解析式为
.4．如图，已知直线
与双曲线
交于A、B两点，且点A的横坐标为4.(1)求k的值；
(2)若双曲线
上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；解：(1)∵点A横坐标为4， ∴当
= 4时，
=2.∴ 点A的坐标为(4，2).
∵ 点A是直线
与双曲线的交点 ，∴ k=4×2=8.
(2)解法一：如图，
∵ 点C在双曲线上，当
=8时，=1∴ 点C的坐标为(1，8).
过点A、C分别做
轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .
S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4.
S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.
解法二：如图，
过点C、A分别做
轴的垂线，垂足为E、F，
∵ 点C在双曲线
上，当= 8时，=1.∴ 点C的坐标为(1，8).
∵ 点C、A都在双曲线
上，∴ S△COE = S△AOF=4.
∴ S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.
∴ S△COA=S梯形CEFA.
∵ S梯形CEFA =
×(2+8)×3=15，∴ S△COA=15.
