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1．直线 与直线 各交于点P、Q，PQ的中点为 ，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示
A．落在相应各组的数据的频数 B．相应各组的频率
C．该样本所分成的组数 D．该样本的样本容量
3．对任意实数 ，圆C： 与直线 的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．与 取值有关
4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，面对角线与AD1成60°角的有
A．10条 B．8条 C．6条 D．4条
5．方程 的根分别是 ，则 的大小关系为
A．无法确定 B．
C． D．
6．已知函数 的图象与 轴有交点时，m的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知集合 若集合 中只有一个元素，则b的取值范围是
A． B．
C． D．
8．一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角是
A． B． C． D．
9．用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱。可用的长方形钢板有四种不同规格（长 宽的尺寸，如选项所示，单位均为m）。若既够用，又要所剩最少，则应选择钢板规格是
A．2 5 B．2 5.5 C．2 6.1 D．3 5
10．设函数 ，给出下述命题：
① 有最小值； ②当 时， 的值域为R；
③当 时， 在区间 上有反函数；
④若 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围 。
正确的命题是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
11．抛掷一均匀骰子，事件A表示“朝上 一面的点数是奇数”，事件B表示“朝上一面的点数不超过3”，事件C表示“朝上一面的点数是偶数”，则 ，则 。 12．已知P为直线 上一动点，PA，PB为圆 的两切线，A、B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积最小时P点坐标为 ，最小面积为 。
13．奇函数 在 内是减函数， 则满足 的 值的范围是 。
14．已知函数 满足 则
= 。
15．（12分）设直线 的方程为 。
（1）若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程。
（2）若 不经过第二象限，求实数 的取值范围。
16．（14分）四棱锥 的底面是矩形， 平面ABCD，E、F分别AB、PD的中点，又二面角 为 。
（1）求证：AF//平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
（3）设AD=2，CD= ，求点A到平面PEC的距离。
17．（14分）已知圆 点 过P作圆C的切线PA、PB，A、B为切点。
（1）求PA、PB所在直线的方程；
（2）求AB所在的直线方程。
18．（14分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售统计规律：每生产产品 （百台），其总成本为G（ ）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入满足：
假设该产品产销平衡，那么根据上述统计规律。
（1）要使工厂有盈利，产量 应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
（3）求盈利最多时每台产品的售价。
19．（12分）如图，在一个木制的棱长为3的正方体的表面涂上颜色，将它的棱3等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体。将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中。
（1）从这口袋中任意取出一个小正方体，这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是多少？
（2）从这个口袋中同时任意取2个小正方体，其中1个小正方体恰好有一个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是多少？
20．（14分）已知函数 的定义域是 ，值域是 （其中 是小于1的正数）。
（1）求证： ；
（2）讨论 的单调性；
（3）求正数 的取值范围。
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题 号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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答 案 |
C |
B |
A |
B |
D |
D |
C |
B |
C |
A |
11、 1 （2分）； （3分） 12、 （3分）； （2分）
13、 14、 16
三、15、解（1）当直线过原点时，该直线在 轴、 轴上的截距为0，当然相等， ，此时方程为 。
当直线不过原点时，即 ，由截距存在，
有 即 ，此时方程为 。
故满足条件的 的方程为 或 …………………（6分）
（2）将 的方程化为 ，欲使 不经过第二象限，当且仅当
故所求的 的取值范围是 。……………………………………（12分）
16、（1）证：取PC的中点G，连结EG、FG，
为PD中点
又ABCD为矩形，E为AB中点
∴ AE = FG
∴ AEGF为平行四边形，∴ AF//EG……………………………（2分）
而
∴ AF//平面PEC。……………………………………………………（4分）
（2）证：从PA⊥平面ABCD知AD是PD、AF在平面AC上的射影，又ABCD为矩形,∴ CD⊥AD ∴ CD⊥PD CD⊥AF，故∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，即∠PDA=45°……………………………………………………………………（6分）
∵ PA⊥平面AC，AD 平面AC ∴PA⊥AD
∵ F为PD中点，∴AF⊥PD，又AF⊥CD
∴AF⊥平面PCD
从（1）知AF//EG ∴EG⊥平面PCD
又EG 平面PEC ∴平面PEC⊥平面PCD…………………………（9分）
（3）解：从（2）知平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC。从（1）知AF//平面PEC，
∴ A点到平面PEC的距离即等于FH………………………（11分）
在Rt△PFH和Rt△PCD中，∠CPD公共角
∴ Rt△PFH∽Rt△PCD
在Rt△PAD中，∠PDA=45°，AD=2，F为PD中点，
∴ PF= ，PD= 又PC= ，
∴ FH= …………………（13分）
∴ A点到平面PEC的距离为1。………………（14分）
17、解：（1）据题意切线斜率存在，设为
∵切线过点
∴ 切线方程为 ，即 ……（1分）
∵ ，半径 ，由点到直线距离公式得 ……（3分）
解之，得 ………………………………………………………（5分）
故切线PA、PB所在直线方程分别是 和 ……（6分）
（3）设 ， ………………………………（7分）
则
∵ CA⊥AP ∴ ∴ …………（9分）
∴
∴
即
∴
∵
∴ ………………………………………………（11分）
同理得 …………………………………………（13分）
∵ A、B两点的坐标都满足方程
∴ 直线AB的方程是 ……………………………（14分）
（本问也可以利用以CP为直径的圆方程和已知圆方程相减得到）
18、解：据题意， ,则利润函数为
………………（2分）
（1）要使工厂有盈利，即 。当 时，
从 得 ，
∴ ；当 时，从 的 ，
∴ 。
综上所述，要使工厂盈利， 应满足 ，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内。…………………………………………………………（7分）
（2）当 时， ，
∴ 当 时， 的最大值3.6；
当 时， 。
故当工厂生产400台产品时，盈利最多。………………………………（11分）
（3）即求 时的每台产品的售价。此时售价为 （万元/百台）=240（元/台）
即当盈利最大时产品售价为每台240元。…………………………（14分）
19、解：在27个小正方体中，恰好3个面涂有颜色的共8个，恰好2个面涂有颜色的共12个，恰好1个面涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的只有1个。………（2分）
（1）从27个小正方体中任意取出1个，共有27种等可能的结果。………（4分）
在27个小正方体中，表面没有涂颜色的只有1个。
故从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰为没涂颜色的概率是 。………………………………………………………（6分）
（2）从27个小正方体中，同时任取2个共有 （种）等可能的结果。…（8分）
在这些结果中，有1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色包含的结果有 （种）
故从这口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是 。…………（12分）
20、解：（1）由 得 。又因函数定义域为 ，所以 。而函数值域为 ，知 ，于是 即 。………………………………（3分）
（2）设 ，则
又 ，故 ，即 在 上是单调递减函数。（6分）
（3）由上得 ，于是 与 是 的两实根。由此得 有两个大于3的不等实根。（8分）
记 ，利用它的图象得到 ……（12分）
解得 所以正数 的取值范围
是 …………………………………………………（14分）
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