高一数学上学期期末考试试题（理）
命题：张科元 审稿：王宪生 校对：胡华川
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若
，则
角的终边在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
为非零实数，且
，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．若向量
与
不共线，
，且
，则向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．0
5．若
,且
，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数 的最小正周期为 ，则函数 的
一个单调增区间是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
的图象的一个对称中心为
，若
，则
的
解析式为 （ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
8．已知偶函数
满足：
，且当
时，
，其图象与直线
在
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设
，则
的关系为 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．设
是
的面积，
的对边分别为
，且
，
则 （ ）
A．
是钝角三角形 B．
是锐角三角形
C．
可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 D．无法判断
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在平行四边形ABCD中，若
，
，则
____. （用坐标表示）
12．已知三点
，
为线段
的三等分点，则
＝ ．
13．若函数
能用均值不等式求最大值，则需要补充
的取值范围是_________.
14.已知关于
的方程
与
的解集都是空集，则实数
的取值范围是______．
15．已知实数
满足条件
，给出下列不等式： ①
；②
；③
；
④
；
其中一定成立的式子有_________．
答题卡
|
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
答案 |
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|
|
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题号 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
答案 |
|
|
|
|
|
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16．（本小题满分12分）解关于
的不等式：
且
．
17．（本小题满分12分）已知向量
． （Ⅰ）若点
能构成三角形，求
满足的条件； （Ⅱ）若
为等腰直角三角形，且
为直角，求
的值．
18．（本小题满分12分）若将函数
的图象按向量
平移后得到函数
的图象． （Ⅰ）求函数
的解析式； （Ⅱ）求函数
的最小值．
19．（本小题满分12分）在
中，
，
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
最大边的边长为
，求最小边的边长．
20．（本小题满分13分）“ ”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于一个矩形 的两个顶点 及 的中点 处， ， ，现要在该矩形的区域内（含边界），且与 等距离的一点 处建造一个医疗站，记 点到三个乡镇的距离之和为 ．
（Ⅰ）设 ，将 表示为 的函数；
（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．
21. （本小题满分14分）已知
中，角
的对边分别为
.
（Ⅰ）证明：不论
取何值总有
；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）若
，证明：
.
湖北省 2008春季高一
数学期末考试试题（理）
命题：张科元 审稿：王宪生 校对：胡华川
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若
，则
角的终边在（ D ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [提示]：
，∴
角的终边在第四象限． 2．若
，
，
，则
（ B ）
A．
B．
C．
D．
[提示]：
． 3．已知
为非零实数，且
，则下列不等式一定成立的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
[提示]：不知
的正负，A ，B ，C都不能确定，而函数
单调递增．
4．若向量
与
不共线，
，且
，则向量
与
的夹角为（ A ）
A．
B．
C．
D．0
[提示]：设向量
与
的夹角为
，
．
5．若
,且
，则下列不等式一定成立的是（D）
A．
B．
C．
D．
[提示]：
，∴
．
6．函数 的最小正周期为 ，则函数 的
一个单调增区间是（C）
A．
B．
C．
D．
[提示]：
．∴
，
在
上单调递增．
7．已知函数
的图象的一个对称中心为
，若
，则
的
解析式为（D）
A．
B．
C．
或
D．
或
[提示]：
∴
，
，又
，∴
，
或
．
8．已知偶函数
满足：
，且当
时，
，其图象与直线
在
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为
，则
等于（ B ）
A．
B．
C．
D．
[提示]：依题意
四点共线，
与
同向，且
与
，
与
的横坐标都相差一个周期，所以
，
，
．
9．设
，则
的大小关系为 （ A ）
A．
B．
C．
D．
[提示]：
，
，所以当
时，
．
10．设
是
的面积，
的对边分别为
，且
，
则 （A）
A．
是钝角三角形 B．
是锐角三角形
C．
可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 D．无法判断 [提示]：
，∴
，∴
，
∴
为锐角，
，若
为钝角，且满足上式，则
是钝
角三角形，若
为锐角，则
，
是钝角三角形．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在平行四边形ABCD中，若
，
,则
____. （用坐标表示）
[提示]：
，∴
．
12．已知三点
，
为线段
的三等分点，则
＝
．
[提示]：
，
为线段
的三等分点，∴
，
，∴
．
13．若函数
能用均值不等式求最大值，则需要补充
的取值范围是____
_____.
[提示]：
，
，该式能用均值不等式求最大值，
则
且
，∴
∴
．
14.已知关于
的方程
与
的解集都是空集，则实数
的取值范围是____
__．
[提示]：
，又其解集为空集，∴
，当
时，
，当
时，
，∴
，又其解集为空集，∴
，
．
15．已知实数
满足条件
，给出下列不等式： ①
；②
；③
；④
；
其中一定成立的式子有__③④_______． [提示]：当
时排除①；
，
，
时排除②；而
，∴③成立；
，∴④成立． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16．（本小题满分12分）解关于
的不等式：
且
．
[解答]：由
，得
，所以依对数的性质有：
当
时，
，又
，此时不等式无解；
当
时，
或
，又
，
，综上：当
时，不等式无解；当
时，不等式的解集为
．
17．（本小题满分12分）已知向量
． （Ⅰ）若点
能构成三角形，求
满足的条件； （Ⅱ）若
为等腰直角三角形，且
为直角，求
的值． [解答]：（Ⅰ） 若点
能构成三角形，则这三点不共线，
∴
，∴
满足的条件为
（若根据点
能构成三角形，必须
，相应给分）； （Ⅱ）
，若
为直角，则
，∴
， 又
，∴
，再由
，解得
或
． 18．（本小题满分12分）若将函数
的图象按向量
平移后得到函数
的图象． （Ⅰ）求函数
的解析式； （Ⅱ）求函数
的最小值． [解答]：（Ⅰ）设
是函数
的图象上任意一点，按向量
平移后在函数
的图象上的对应点为
，则：
，∴
，即
，所以函数
； （Ⅱ）
，令
，而函数
在
上是增函数，所以当
时，
，即当
时，
． 19．（本小题满分12分）在
中，
，
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
最大边的边长为
，求最小边的边长．
[解答]：（Ⅰ）
，
，
．又
，
；
（Ⅱ）
，
边最大，即
．又
，
角
最小，
边为最小边．
，
．由
得：
，所以，最小边
．
20．（本小题满分13分）“ ”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于一个矩形 的两个顶点 及 的中点 处， ， ，现要在该矩形的区域内（含边界），且与 等距离的一点 处建造一个医疗站，记 点到三个乡镇的距离之和为 ．
（Ⅰ）设 ，将 表示为 的函数；
（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．
[解答]：（Ⅰ）如图，延长 交 于点 ，由题设可知 ， ， ，在 中， ， ，又 ， ；
（Ⅱ） ，令 ，则
， ，
或 （舍），当 时， ，所以 最小，即医疗站的位置 满足 ，可使得三个乡镇到医疗站的距离之和最短． 21. （本小题满分14分）已知 中，角 的对边分别为 .
（Ⅰ）证明：不论
取何值总有
；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）若
，证明：
.
[解答]：（Ⅰ）令
，由余弦定理
，
，在三角形中
，
，再由
得：不论
取何值总有
；
（Ⅱ）要证
，即证
，
整理得：
，亦即证：
，因为在三角形中
，所以
成立，则原不等式成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，令
，则
，所以
，
即原不等式成立.
来源: 中国哲士网
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