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高一数学上学期期末考试试题（理）
命题：张科元 审稿：王宪生 校对：胡华川
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若 ，则 角的终边在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D． 3．已知 为非零实数，且 ，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
4．若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．0
5．若 ,且 ，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
6．函数 的最小正周期为 ，则函数 的
一个单调增区间是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 的图象的一个对称中心为 ，若 ，则 的
解析式为 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或 8．已知偶函数 满足： ，且当 时， ，其图象与直线 在 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．设 ，则 的关系为 （ ）
A． B． C． D．
10．设 是 的面积， 的对边分别为 ，且 ，
则 （ ）
A． 是钝角三角形 B． 是锐角三角形
C． 可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 D．无法判断
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在平行四边形ABCD中，若 ， ，则 ____. （用坐标表示）
12．已知三点 ， 为线段 的三等分点，则 ＝ ．
13．若函数 能用均值不等式求最大值，则需要补充 的取值范围是_________.
14.已知关于 的方程 与 的解集都是空集，则实数 的取值范围是______．
15．已知实数 满足条件 ，给出下列不等式： ① ；② ；③ ；
④ ；
其中一定成立的式子有_________．
答题卡
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题号 |
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答案 |
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题号 |
11 |
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答案 |
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| 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16．（本小题满分12分）解关于 的不等式： 且 ．
17．（本小题满分12分）已知向量 ． （Ⅰ）若点 能构成三角形，求 满足的条件； （Ⅱ）若 为等腰直角三角形，且 为直角，求 的值．
18．（本小题满分12分）若将函数 的图象按向量 平移后得到函数 的图象． （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）求函数 的最小值．
19．（本小题满分12分）在 中， ， ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长．
20．（本小题满分13分）“ ”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于一个矩形 的两个顶点 及 的中点 处， ， ，现要在该矩形的区域内（含边界），且与 等距离的一点 处建造一个医疗站，记 点到三个乡镇的距离之和为 ．
（Ⅰ）设 ，将 表示为 的函数；
（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．
21. （本小题满分14分）已知 中，角 的对边分别为 .
（Ⅰ）证明：不论 取何值总有 ；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）若 ，证明： .
湖北省 2008春季高一数学期末考试试题（理）
命题：张科元 审稿：王宪生 校对：胡华川
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若 ，则 角的终边在（ D ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [提示]： ，∴ 角的终边在第四象限． 2．若 ， ， ，则 （ B ）
A． B． C． D． [提示]： ． 3．已知 为非零实数，且 ，则下列不等式一定成立的是（ D ）
A． B． C． D．
[提示]：不知 的正负，A ，B ，C都不能确定，而函数 单调递增．
4．若向量 与 不共线， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ A ）
A． B． C． D．0
[提示]：设向量 与 的夹角为 ， ．
5．若 ,且 ，则下列不等式一定成立的是（D）
A． B． C． D．
[提示]： ，∴ ．
6．函数 的最小正周期为 ，则函数 的
一个单调增区间是（C）
A． B． C． D．
[提示]： ．∴ ，
在 上单调递增．
7．已知函数 的图象的一个对称中心为 ，若 ，则 的
解析式为（D）
A． B．
C． 或 D． 或 [提示]： ∴ ， ，又 ，∴ ， 或 ．
8．已知偶函数 满足： ，且当 时， ，其图象与直线 在 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 ，则 等于（ B ）
A． B． C． D．
[提示]：依题意 四点共线， 与 同向，且 与 ， 与 的横坐标都相差一个周期，所以 ， ， ．
9．设 ，则 的大小关系为 （ A ）
A． B． C． D．
[提示]： ， ，所以当 时， ．
10．设 是 的面积， 的对边分别为 ，且 ，
则 （A）
A． 是钝角三角形 B． 是锐角三角形
C． 可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 D．无法判断 [提示]： ，∴ ，∴ ，
∴ 为锐角， ，若 为钝角，且满足上式，则 是钝
角三角形，若 为锐角，则 ， 是钝角三角形．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．在平行四边形ABCD中，若 ， ,则 ____. （用坐标表示）
[提示]： ，∴ ．
12．已知三点 ， 为线段 的三等分点，则 ＝ ．
[提示]： ， 为线段 的三等分点，∴ ，
，∴ ．
13．若函数 能用均值不等式求最大值，则需要补充 的取值范围是____ _____.
[提示]： ， ，该式能用均值不等式求最大值，
则 且 ，∴ ∴ ．
14.已知关于 的方程 与 的解集都是空集，则实数 的取值范围是____ __．
[提示]： ，又其解集为空集，∴
，当 时， ，当 时， ，∴ ，又其解集为空集，∴ ， ．
15．已知实数 满足条件 ，给出下列不等式： ① ；② ；③ ；④ ；
其中一定成立的式子有__③④_______． [提示]：当 时排除①； ， ， 时排除②；而
，∴③成立；
，∴④成立． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16．（本小题满分12分）解关于 的不等式： 且 ．
[解答]：由 ，得 ，所以依对数的性质有：
当 时， ，又 ，此时不等式无解；
当 时， 或 ，又 ， ，综上：当 时，不等式无解；当 时，不等式的解集为 ．
17．（本小题满分12分）已知向量 ． （Ⅰ）若点 能构成三角形，求 满足的条件； （Ⅱ）若 为等腰直角三角形，且 为直角，求 的值． [解答]：（Ⅰ） 若点 能构成三角形，则这三点不共线， ∴ ，∴ 满足的条件为 （若根据点 能构成三角形，必须 ，相应给分）； （Ⅱ） ，若 为直角，则 ，∴ ， 又 ，∴ ，再由 ，解得 或 ． 18．（本小题满分12分）若将函数 的图象按向量 平移后得到函数 的图象． （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）求函数 的最小值． [解答]：（Ⅰ）设 是函数 的图象上任意一点，按向量 平移后在函数 的图象上的对应点为 ，则： ，∴ ，即 ，所以函数 ； （Ⅱ） ，令
，而函数 在 上是增函数，所以当 时， ，即当 时， ． 19．（本小题满分12分）在 中， ， ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长．
[解答]：（Ⅰ） ， ，
．又 ， ；
（Ⅱ） ， 边最大，即 ．又 ，
角 最小， 边为最小边． ， ．由 得： ，所以，最小边 ．
20．（本小题满分13分）“ ”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于一个矩形 的两个顶点 及 的中点 处， ， ，现要在该矩形的区域内（含边界），且与 等距离的一点 处建造一个医疗站，记 点到三个乡镇的距离之和为 ．
（Ⅰ）设 ，将 表示为 的函数；
（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．
[解答]：（Ⅰ）如图，延长 交 于点 ，由题设可知 ， ， ，在 中， ， ，又 ， ；
（Ⅱ） ，令 ，则
， ，
或 （舍），当 时， ，所以 最小，即医疗站的位置 满足 ，可使得三个乡镇到医疗站的距离之和最短． 21. （本小题满分14分）已知 中，角 的对边分别为 .
（Ⅰ）证明：不论 取何值总有 ；
（Ⅱ）证明： ；
（Ⅲ）若 ，证明： .
[解答]：（Ⅰ）令 ，由余弦定理 ，
，在三角形中
， ，再由 得：不论 取何值总有 ；
（Ⅱ）要证 ，即证 ，
整理得： ，亦即证： ，因为在三角形中
，所以 成立，则原不等式成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，令 ，则
，所以 ，
即原不等式成立.
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