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一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1． 若ABCD是正方形，E是CD的中点，且 ， ，则 =( )
A． B． Ｃ． Ｄ．
2．下列命题中，假命题为 （ ）
A .若 ，则 B．若 ，则 或
C．若k∈R，k ，则k=0或 D．若 ， 都是单位向量，则 ≤1恒成立
3．设 ， 是互相垂直的单位向量，向量 ， ， ，则实数m为 （ ）
A．-2 B．2 Ｃ． Ｄ．不存在
4．已知非零向量 ，则下列各式正确的是 （ ）
A． + = B． + = C． - = D． =
5．在边长为1的等边三角形ABC中，设 ， ， ，则 的值为 （ ）
A． B． Ｃ．0 Ｄ．3
6．在△OAB中， =（2cosα，2sinα）， =（5cosβ，5sinβ），若 =-5，
则S△OAB= （ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．
7．在四边形ABCD中， ， ， ，则四边形ABCD的形状是 （ ）
A．长方形 B．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形
8．把函数y=cos2x+3的图象沿向量 平移后得到函数y=sin（2x- ）的图象，则向量 是 （ ）
A．（ ） Ｂ．（ ） Ｃ．（ ） Ｄ．（ ）
9．若点F1，F2为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时， 的值为 （ ）
A．0 B．1 Ｃ．3 Ｄ．6
10．向量 =（-1，1），且 与 +2 方向相同，则 的范围是 （ ）
A．（1，+∞） B．（-1，1） Ｃ．（-1，+∞） Ｄ．（-∞，1）
11．O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足 + ，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的 （ ）
A．内心 B．外心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心
12．已知D是△ABC中AC边上一点，且 =2+ ，∠C=45°，
∠ADB=60°，则 = （ ）
A．2 B．0 Ｃ． Ｄ．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．△ABC中，已知a=4，b=6，sinB= ，则∠A= 。
14．已知M(3,4)，N(12,7)，点Q在直线MN上，且 ，则点Q的坐标为 。
15．已知| |=8，| |=15，| + |=17，则 与 的夹角θ为= 。
16．给出下列四个命题：
①若 ，则 ∥ ； ② 与 不垂直；
③在△ABC中，三边长BC=5，AC=8，AB=7，则 ；
④设A(4,a)，B(b,8)，C(a,b)，若OABC为平行四边形（O为坐标原点），则∠AOC= 。
其中真命题的序号是 （请将你认为真命题的序号都填上）。
三、 解答题：本大题共6小题，共74分。
17．（本小题满分12分）设向量 =（3，1）， =（-1，2），向量 ， ∥ ，又 + = ，求 。
18．（本小题满分12分）已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，(0<α<π)。
（1）若 （O为坐标原点），求 与 的夹角；（2）若 ，求tanα的值。
19.如图，O，A，B三点不共线， ， ，设 ， 。
（1）试用 表示向量 ；
（2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线。
20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，A (1，t)，C（-2t，2）， （O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）。⑴求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t)；⑵确定函数S(t)的单调区间，并求S(t)的最小值。
21．（本小题满分12分）如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，其中tanα= 。在距离港口O为 a（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供给科学考察船物资的小岛，其中 。现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变全速追赶科学考察船，并在C处相遇。经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成的三角形OBC面积S最小时，补给最合适。（1）求S关于m的函数关系式S(m)；（2）当m为何值时，补给最合适？
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平面向量答案
一、选择题：
1． B；2．B；3．A；4．D；5．B；6．D；7．D；8．A；9．A；10．C；11．C；12．B
10．C．解析：注意 与 +2 同向，可设 +2 =λ （λ>0），则 = ，从而
。11．C．解析： + ，即 ，即 与 同向。12．B．解析：解三角形可得∠ABD=90°。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．30° 14．(6,5) 或(0,3) 15． 16．①④
17． = - =（11，6）。18. 19. = 。
20. S(t)=
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．解： 设 =（x,y），∵ ，∴ ，∴2y – x =0，①
又∵ ∥ ， =（x+1，y-2），∴3( y-2) – (x+1)=0，即：3y – x-7=0，②
由①、②解得，x=14，y=7，∴ =（14，7），则 = - =（11，6）。
18．解：⑴∵ ， ，∴ ，∴ ．又 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ 与 的夹角为 ．⑵ ， ，由 ，∴ ， 可得 ， ①∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
又由 ， ＜0，∴ ＝－ ，②由①、②得 ， ，从而 ．
19．解：(1)∵B，E，C三点共线，∴ =x +(1-x) =2 x +(1-x) ，①
同理，∵A，E，D三点共线，可得， =y +3(1-y) ，②
比较①，②得， 解得x= ， y= ,∴ = 。
（2）∵ ， ，
， ， ∴ ，∴L，M，N三点共线。
20．解：（1）∵ ，∴OABC为平行四边形，
又∵ ，∴OA⊥OC，∴四边形OABC为矩形。
∵ =(1-2t，2+t)，当1-2t>0，即0<t< 时，A在第一象限， B在第一象限，C在第二象限，（如图1）此时BC的方程为：y-2=t(x+2t)，令x =0，得BC交y轴于K(0,2t2+2),∴S(t)=SOABC-S△OKC=2(1-t+t2-t3).
① 当1-2t≤0，即t≥ 时，A在第一象限，B在y轴上或在第二象限，C在第二象限，（如图2）此时AB的方程为：y-t= (x-1)，令x =0，得AB交轴于M(0,t+ ), ∴S(t)= S△OAM= .
∴S(t)=
（2）当0<t< 时，S(t) =2(1-t+t2-t3)，S′(t) =2(-1+2t-3t2)<0，
∴S(t)在（0， ）上是减函数。当t≥ 时，S(t) = ，S′(t) = ，
∴S(t)在[ ，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数。∴当t=1时，S(t)有最小值为1。
21．解：（1）以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。
直线OZ的方程为y=3x，①设A(x0，y0)，则x0=3 sinβ=9a，y0=3 cosβ=6a， ∴A(9a，6a)。又B(m，0)，则直线AB的方程为y= (x-m) ②
由①、②解得，C( )，∴S(m)=S△OBC= |OB||yc|= ，( )。（2）S(m)=3a[(m-7a)+ ]≥84a2。
当且仅当m-7a= ，即m=14a>7a时，等号成立，
故当m=14a为海里时，补给最合适。
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