|
命题人：潘际栋
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知、是两单位向量，下列命题中正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】单位向量的长度相同，都为一个单位长度．
【答案】D
2．设，则使成立的一个充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】．
【答案】A
3．下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是 （ ）
A. B.
C. D.
【解析】只有两个不共线的向量才可以作为平面向量的基底．
【答案】B
4．设，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A． B．
C． ?D．
【解析】若，此时是单调递减函数，由，有；当时，此时是单调递增函数，由，有．或者根据单位圆也易判断．
【答案】B
5．按向量将点平移到点，则按向量将点平移到 （ ）
A． B． C． D．
【解析】，按向量将点平移到．
【答案】A
6． 设，则M、N、P的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】，易得
．
【答案】B
7．关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】由题意可得，
得，故，为等腰三角形．
【答案】A
8．已知则下列值中能使是直角三角形的一个值是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】,若角为直角，则即，解得；若角为直角，则即，解得；若角为直角，则即，解得．可见只有C答案符合．
【答案】C
9．中，，BC=3，则的周长为 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】用特例法取B＝900，验证即可，或由正弦定理，
,可求得
．
．
【答案】D
10．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则 （ ）
A． ⊥ B．⊥(－) C． ⊥(－) D． (＋)⊥(－)
【解析】由题意可得，有，
即恒成立，
即得，对照备选答案，只有C中(－)=，故C正确．
【答案】C
11．如右图所示，两射线与交于，则下列选项中哪些向量的终点落在阴暗区域内
（ ）
① ②
③ ④
⑤
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．③⑤
【解析】可考虑运用结论：若，则三点共线的充要条件是．对照图形分析知，若且在阴影部分内，则有
，故只有①②正确．
【答案】A
12．平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数．下列函数中为一阶格点函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】或时，，可见只有时，有且仅有一个格点；
或时，，不可能为整数，故此函数不为一阶格点函数；后两个函数都有无数个格点．
【答案】A
二．填空题（本大题共四小题，每小题4分，共16分）
13．设，，若，关于点对称，则 = ．
【解析】由中点公式解得，故．
【答案】2
14．一直角三角形的三边长构成等差数列，则最小内角用反正切函数表示为 ．
【解析】设三边长为，由三边构成等差数列，有，可得
，整理得．
【答案】
15．已知，且，则的最小值是 ．
【解析】．
【答案】
16． 如图，对于函数的图象上不同两点、，直线段必在弧线段的上方,设点分的比为,则由图
象中点在点上方可得不等式．请分
析函数的图象，类比上述不等式, 可以得到的
不等式是 ．
【解析】按题给信息,该不等式是“由图象中点C在点C′上方”得到的,也就是说该不等式是这一几何特征的代数化．因为点C分的比为(,又A、B坐标分别为(a,a2)、(b,b2),所以是C点的纵坐标,而是C点的横坐标,()2就是C?点的纵坐标．因此由C点在C?点的上方,即得>()2．最后,作出函数y=lnx(x>0)的图象进行比较分析．设函数图象上任意两点A(a,lna)、B(b,lnb),点C分的比为((a>0,b>0,(>0),则C点坐标为(,),C′点坐标为(, )．显然有C点在C?点的下方,因此可以得到的不等式是．
【答案】
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
B
A
B
A
C
D
C
A
A
题号
13
14
15
16
答案
2
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本题满分12分)
如图，已知, ，对任意点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，用、表示向量．
【解答】，
两式相减得
可得
18．(本题满分12分)
已知，，，，试比较、、的大小．
【解答】不妨设，则，，由此猜想
由得，得，
得，
即得．
19．(本题满分12分)
关于函数的性质叙述如下：①；②没有最大值；③在区间上单调递增；④的图象关于原点对称．问：
(1)函数＝符合上述哪几条性质，请对照以上四条性质逐一说明理由．
(2)是否存在符合上述四个性质的函数．若存在，请写出一个这样的函数；若不存在，请说明理由．
【解答】(1)符合（2）（3），理由如下：
①中＝，与不一定恒等；
②＝中，的值可以无穷大；
③函数与均在上单调递增，故在区间上单调递增；
④，故其图象不关于原点对称．
(2)存在，如函数．
20．(本题满分12分)
如图，已知△ABC的，A为圆心，直径，问在什么位置时，有最大值、最小值？并求出这个最大值、最小值．
【解答】由余弦定理可得
，又，
=
=+=．
设与的夹角为,则
当即且与同向时，最大，为22；
当，即且与反向时，最小，为-6．
21．(本题满分12分)
如图，某观测站在城的南偏西方向上，从城出发有一条公路，走向是南偏东，在处测得距离处31千米的公路上的处有一辆正沿着公路向城驶去，行驶了20千米后到达处，测得、二处间距离为21千米，这时此车距城多少千米？
【解答】 解法一：在中，，
，，由余弦定理得
所以．
在中，CD＝21，
．由正弦定理得
（千米）．
所以此车距城A有15千米．
解法二：设，，则在中，，
由余弦定理得：…………①
中，由余弦定理得：…………②
①-②得：，代入①化简得．
，即，解得或（舍去）．
所以此车距城有15千米．
22．(本题满分14分)
设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件： ①且； ②且．
（1）求及的坐标；
（2）设，求的通项公式；
（3）对于（Ⅱ）中的，是否存在最大的自然数，对所有都有成立？若存在，求值；若不存在，说明理由．
【解答】
（1），
；
（2）；
（3），当且仅当时取得最小值6．
所以存在最大的自然数，对所有都有成立．
|
