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2007-2008学年度高一上学期期末考试数学试题
命题人：增城市华侨中学 朱荣雄
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 直线 在纵轴上的截距为：
A. B. C. D.
2. 已知全集 集合 则 等于：
A． B. C． D．
3. 下列函数在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是：
A. B. C. D.
4．若 ， α，则 和 的关系是：
A．平行 B. 相交 C．平行或异面 D．以上都不对
5．圆 的圆心 到直线 的距离是：
A. B. C. D.
6. 设 ,则在下列区间中，使方程 有实数解的是：
A. B. C. D.
7. 设函数 ，则 的最大值为：
A. B.3 C. 0 D.
8. 直线 所截得的线段的长为：
A．1 B． C． D．2
9. 如右图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形， 则该几何体的表面积为：
A. B.
C. D.
10. 函数 的图像大致是：
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中的横线上.
11. 若函数 ,则 _______________.
12. 直线 与直线 的位置关系是 ___________ .
13. 球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的__________________倍.
14. 已知点 . 若直线 与线段 没有交点，则 的取值范围是_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
设全集 为
（ ）
16.（本小题满分12分）
求过点 并且在坐标轴上的截距相等的直线 的方程.
17．（本小题满分14分）
如图，在长方体 中，
， 、 分别为
、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ．
18.（本小题满分14分）
在经济学中，函数 的边际函数为 ，定义为 . 某公司每月最多生产100台报警系统装置，已知生产 台的收入函数为 （单位：元）；其成本函数为 （单位：元）.利润等于收入与成本之差.
（1）求出利润函数 及其边际利润函数 ；
（2）求出的利润函数 及其边际利润函数 是否具有相同的最大值？
（3）你认为本题中边际利润函数 最大值的实际意义是什么？
19.（本小题满分14分）
已知函数
（1）求证：不论 为何实数， 总是为增函数；
（2）确定 的值，使 为奇函数；
（3）当 为奇函数时，求 的值域.
20.（本小题满分14分）
已知圆上的点 关于直线 的对称点仍在圆上，且与直线 相交的弦长为 ，求该圆的方程.
2007-2008学年度高一上学期期末考试模拟试题
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. C 2. A 3. D 4．C 5．A 6. D 7. B 8. C 9. B 10. B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中的横线上.
11. 12. 平行 13. 8 倍 14. .
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
设全集 为
（ ）
解：
∴ ………………………………………………………………………2分
∴ ………………………………………………6分
∴ …………………………8分
…………………………10分
∴ ……………………………………………………12分
16.（本小题满分12分）
求过点 并且在坐标轴上的截距相等的直线 的方程.
解：（1）当直线 的截距为0时，可设其方程为： . ……………………………1分
过点
∴ ，解得： ………………………………………………………………4分
∴此时直线 的方程为： ，即： ………………………………6分
（2）当直线 的截距不为0时，可设其方程为： ，即： .……7分
过点
∴ ，解得： ………………………………………………………9分
∴此时直线 的方程为： .………………………………………………11分
综上所述：所求直线 的方程为： 或 .………………………12分
17．（本小题满分14分）
如图，在长方体 中，
， 、 分别为
、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ．
（1）证明：依题意， 侧面 侧面 ， ……3分
在 中， ，则有 ，
， ， ………………………………………………………6分
又 平面 ．…………………………………………………7分
（2）证明：连 、 ，连 交 于 ，
易知：
∴四边形 是平行四边形，………10分
…………..…………………11分
又 平面 ， 平面 ，
平面 …………………14分
18.（本小题满分14分）
在经济学中，函数 的边际函数为 ，定义为 . 某公司每月最多生产100台报警系统装置，已知生产 台的收入函数为 （单位：元）；其成本函数为 （单位：元）.利润等于收入与成本之差.
（1）求出利润函数 及其边际利润函数 ；
（2）求出的利润函数 及其边际利润函数 是否具有相同的最大值？
（3）你认为本题中边际利润函数 最大值的实际意义是什么？
解：（1）（2）依题意，
.
故 当 62或63时， （元）. ……………………………………6分
， ；
∵ 为减函数∴当 时， 有最大值 .…………………11分
故利润函数 及其边际利润函数 没有相同的最大值. ………………………12分
（3）边际利润函数 最大值的实际意义是：生产第二台机器与生产第一台机器的利润差最大. ………………………………………………………………………………………14分
19.（本小题满分14分）
已知函数
（1）求证：不论 为何实数， 总是为增函数；
（2）确定 的值，使 为奇函数；
（3）当 为奇函数时，求 的值域.
（1）证明：依题意，易知 的定义域为 . …………………………………………1分
设 ，则： ，从而：
∴ ……………4分
即： ∴不论 为何实数， 总是为增函数. ………………………5分
（2）解：∵ 为奇函数∴ ，即： ……7分
∴
即：当 时， 为奇函数. ………………………………………………………10分
（3）解：由（2）知， ………………………………………………11分
∵ ∴ ∴ ∴ ………13分
即： ∴ 的值域为： . …………………………………14分
20.（本小题满分14分）
已知圆上的点 关于直线 的对称点仍在圆上，且与直线 相交的弦长为 ，求该圆的方程.
解：设所求圆的圆心为 半径为 则其方程为： . ……1分
∵点 关于直线 的对称点仍在圆上
∴圆心 在直线 上…………………………………………………………3分
∴ …… ①……………………………………………………7分
又∵直线 截圆所得的弦长为
∴ …… ②……………………………………………………9分
由① ②解得： 或 .…………………………………………………12分
∴所求圆的方程为： 或 .………14分
（估计全市平均分：88分）
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