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北大附中02-03年上学期高一数学期末考试
一、选择题：将下列各题的答案填入表中（每小题3分，共3×12=36分） 1.设集合P={(x,y)|y=x2}，集合Q={(x,y)|y=x}则P∩Q等于 （A）{（0,0）} （B）{（1,1）} （C）{(0,0),(1,1)} （D）{(0,1)} 2.命题“若a=0，则ab=0 ”的逆否命题是 （A）若ab=0，则a=0 （B）若a≠0，则ab≠0 （C）若ab=0，则a≠0 （D）若ab≠0，则a≠0 3.函数y= 的定义域是 （A） （B）（2，3） （C）（3，+∞） （D）（1，2） 4.设1＜a＜b＜c则下列不等式中正确的是 （A）ca＜ba （B）ac＜ab （C）logcb＜logca （D）logca＜logba
5.已知等差数列{an}满足a1+a2+…+a91=0，则有 （A）a3+a89=0 （B）a2+a90＜0 （C）a1+a91＞0 （D）a46=46 6.若指数函数满足f（﹣2）=4，则有f﹣1（x）的解析式是
（A） f﹣1（x）=log2x （B）f﹣1（x）=log4x （C）f﹣1（x）=﹣log2x （D）f﹣1（x）=﹣log4x 7.某人从2003年起，每年1月14日到银行新存入a元（一年定期）。若年利率为r保持不变，且每年到期存款及利息转为新的一年定期存款，到2008年1月14日将所有存款及利息全部取回（不考虑利息税），他可取回的钱数为 （A）a(1+r)5元 （B） [(1+r)5－(1+r)]元 （C）a(1+r)6元 （D） [(1+r)6－(1+r)]元 8.设f（x ），g（x）都是定义在R上的单调函数，有如下四个命题：①若f（x ）单调递增，g（x）单调递增，则f（x ）•g（x）单调递增；②若f（x ）单调递增，g（x）单调递减，则f（x ）－g（x）单调递增；③若f（x ）单调递减，g（x）单调递增，则f（x ）－g（x）单调递减；④若f（x ）单调递减，g（x）单调递增且g（x）≠0，则 单调递减。其中正确命题的序号是
（A）①②③ （B）②③④ （C）②③ （D）①②③④ 9.方程x2+x= （A）无实根 （B）有异号两根 （C）仅有一负根 （D）仅有一正根 10.若函数f（x ）的图象与函数g（x）=（ ） 的图象关于直线y=x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间是 （A） （B） （C） （D） 11. 在各项都不等于零的等差数列{an}中，若m＞1，且am－1+am+1－am2=0，S2m－1=38，则m等于 （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 12.各项都是正数的等比数列{an}中，a2， a3，a1成等差数列，则 的值是 （A） （B） （C） （D） 或 二、填空题：（每小题3分，共3×4=12分）
13.2㏒525+3㏒264－lg（㏒3310）=_________ 14. 设数列{an}的前n项和Sn=﹣n2+1，那么此数列的通项公式an=__________ 15.已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2－ a1）等于________ 16.对于任意定义在R上的函数f（x ），若实数x0满足f（x0）= x0，则称x0是函数f（x ）的一个不动点，若函数f（x ）=ax2+(2a－3)x+1恰有一个不动点，则实数a的取值集合是___________ 三、解答题：（共52分）
17.求不等式组 |x－1|≤4 的解集 3x2－2x－5 ＞0
18.设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若{cn}是1，1，2，…，求数列{cn}的前10项和。
19.成等差数列的三个数x、y、z，其和为﹣3，且x+y，y+z，z+x成等比数列，求此三数。
20.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y（m）与汽车的车速x（m/s）满足二次函数关系：y= + （n为常数，且n∈N*），我们做过两次实验，发现当x=20m/s时，刹车距离是y1，且5＜y1＜7，当x=35m/s时，刹车距离是y2，且13＜y2＜15 （1） 求出n的值； （2） 要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少？
21已知函数f（x）=㏒ax（a＞0且a≠1），若数列2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n+4（n∈N*）成等差数列 （1） 求数列{an}的通项an； （2） 令bn=anf（an），当a＞1时，判断数列{bn}的单调性并证明你的结论
22.已知函数f（x）=2x+1+ （a∈R，且a≠0） （1） 当a=﹣1时，判断f（x）在R上是增函数还是减函数，并说明理由； （2） 判断f（x）奇偶性
北大附中02-03年上学期高一数学期末考试答案
一、 选择题：（第小题3分，共3×12=36分）
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题号 |
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答案 |
C |
D |
A |
B |
A |
C |
D |
C |
D |
B |
C |
A | 二、填空题：（每小题3分，共3×4=12分）
13、21； 14、 0 （n=1） 15、﹣8 16、{0，1，4} ﹣2n+1 （n≥2） 三、解答题：（共52分）
17、解原不等式等价于 x－1≤4 x－1≥﹣4 （3x－5）（x+1）＞0 解得 x≤5 x≥﹣3 x＜﹣1或x＞ ∴原不等式组的解集是 {x|﹣3≤x＜﹣1或 ＜x≤5} 18.解：依题意。 C1=a1－b1=1 ∵b1=0 ∴a1=1 设bn=b1+(n－1)d=(n－1)d (n∈N*) an=a1·qn－1= qn－1 (n∈N*) C2=a2+b2
C3=a3+b3
∴ 1=d+q 2=2d+q2 解得： q=0 q=2 d=1 d=﹣1 ∵q≠0 ∴ q=2 d=﹣1 ∴an=2n－1 (n∈N*) bn=1－n (n∈N*) c1+c2+…+c10=（a1+a2+…+a10）+（b1+b2+…+b10） = + =210－1－10 =1024－46 =978 ∴数列{Cn}的前10项和为978 19.解：设x=a－d，y=a，z=a+d a－d+a+a+d=﹣3 （a+a+d）2=（a－d+a）－（a+d+a－d） ∴ 3a=﹣3 （2a+d）2=2a（2a－d） 解得 a=﹣1 a1=﹣1 d=0 d=6 ∴这三个数是﹣1，﹣1，﹣1或﹣7，﹣1，5 20.解：（1）y= 依题意 5＜ ＜7 13＜ ＜15 解得：2.5＜n＜ 2.5＜n＜3 ∵n∈N*
∴n=3 （2）∴y= 要使y≤18.4则 ≤18.4 x2＋6x－1840≤0 （x－40）（x＋46）≤0 ﹣46≤x≤40 ∵x≥0 ∴0≤x≤40 ∴行驶的最大速度是40m/s n=3 21.解：（1）依题意。 2.logaa1，logaa2，…logaan，2n+4（n∈N*,a﹥0且a≠1） 等差数列 设此数列为{Cn} ∴C1=2 设Cn=c1+(n－1)d=2+(n－1)d (n∈N*) ∴cn+2=2+(n+2－1)d=2n+4 n·d+2+d=2n+4 (n+1)d=2(n+1) ∴d=2 数列{logaan}成等差数列 c2=4=logaan
logaan=2+2n ∴an=a2n+2 (a﹥0且a≠1，n∈N*)
（2）bn=anf（an） =a2n+2·（2n+2） (n∈N*) bn－1=a2n·2n (n∈N*, n≥2) ∴bn－bn－1=a2n+2(2n+2)－a2n·2n =an(2n－a2+2a2－2n) =an[2n(a2－1)+2a2] =2an[n(a2－1)+a2] ∵a＞1，n∈N* ∴an﹥0 a2﹥1 ∴a2－1﹥0 2an[n(a2－1)+a2]﹥0 ∴bn－bn－1﹥0 bn﹥bn－1
∴数列{bn}单调递增
22.略
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