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重庆市铝城中学高三上学期质量检测
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知 ，则集合 中元素的个数是（ ）
A． B． C． D．不确定
2．已知 ，则角 终边所在象限是 （ ）
A．第三象限 B．第四象限 C．第三或第四象限 D．以上都不对
3．在四边形ABCD中， ， ， ，则四边形ABCD的形状是 （ ）
A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
4．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量（m，n）与向量（－1，1）的夹角 的概率是
A． B． C． D．
5．若函数f（x）= e xsin x，则此函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为
A． B．0 C．钝角 D．锐角
6．已知定义在R上的偶函数f（x）满足 ，且当 时， ，求当 时，则函数f（x）的表达式为 （ ）
A． B．
C． D．
7．若 ，对任意实数t都有 ，且 , 则实数m的值等于 （ ）
A． B． C．－3或1 D．－1或3
8．已知函数 ，若A，B是锐角三角形两个内角，则 （ ）
A． B．
C． D．
9．设f（x）的定义域为R且存在反函数，若f（2x－1）与 互为反函数，且已知 存在，则 等于 （ ）
A．1 B． C．2 D．
10．函数f（x）为奇函数且f（3x+1）的周期为3，f（1）=－1，则f（2006）等于 （ ）
A．0 B．1 C．一1 D．2
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。
11．函数 关于原点对称的充要条件是___________。
12．已知向量 ， ，那么a在b方向上的投影为________。
13．已知 ，设数列{an}满足 （n∈N+），则数列{an}的前n项和 为________________。
14．函数 的图象按向量 平移后的图象的一个中心对称点为_____。
15．已知平面上三点A、B、C满足 ， ， ，则 的值等于_________________。
16．在数列 在直线 上， ，则 。
三、解答题：三大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题13分）
已知函数 ，求
（Ⅰ）函数 的定义域和值域；
（Ⅱ）写出函数 的单调递增区间。
18．（本小题13分）
已知二次函数y＝f（x）的图像与x轴交于A，B两点，且｜AB｜＝2 ,它在y轴上的截距为4．又对任意的x都有f（x＋1）＝f（1－x）。
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图像都在直线l：y＝x＋c的下方，求c的取值范围。
19．（本小题13分）
用一枚质地均匀的硬币，甲、乙两人做抛掷硬币游戏，甲抛掷4次，记正面向上的次数为ξ；乙抛掷3次，记正面向上的次数为η。
（Ⅰ）分别求ξ和η的期望；
（Ⅱ）规定：若ξ＞η，则甲获胜；否则，乙获胜。求甲获胜的概率。
20. （本小题13分）
已知函数f（x）＝m·2x＋t的图象经过点A（1，1），B（2，3）及C（n，Sn），Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*。
（1）求Sn及an；
（2）若数列{bn}满足bn＝2log2an＋1，记ni＝1（n∈N*），求证：∑,sup5(ni＝1。
21．已知 ＝（2n,2n），n∈N＋，O为坐标原点。
（1）设 ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，求P的坐标；
（2）求动点Pn的轨迹方程；
（3）动点Pn的轨迹上有连续三点Pn，Pn＋1，Pn＋2，求△PnPn＋1Pn＋2的面积Sn。
22．（本小题12分）已知二次函数 ，满足 。
（1）求b的值；
（2）当 时，求函数 的反函数 ；
（3）对于（2）中的 ，若 在 上恒成立，求实数m的取值范围。
参考答案
一、选择题：
1．A
2．B
3．D
4．D
5．C
6．A
7．C
8．D
9．A
10．B
二、填空题：
11． ，
12．
13．2 1
14．
15．（－25）
16．2
三、解答题：
17．解： =
………6分
（Ⅰ）函数f（x）的定义域
∵ ∴ 函数f（x）的值域为（—2，2]………………9分
（Ⅱ）令 得 …………12分
∴函数f（x）的单调递增区间是 …………………13分
18．解：（1）解法一：∵f（x＋1）＝f（1－x）又f（x）为二次函数
∴可设f（x）＝a（x－1）2＋k，（a≠0） ……2分
又当x＝0时y＝4
∴a＋k＝4得f（x）＝a（x－1）2－a＋4
令f（x）＝0得a（x－1）2＝a－4，∴｜AB｜＝2 ……6分
∵｜AB｜＝2 ，
∴a＝－2
即f（x）＝－2（x－1）2＋6＝－2x2＋4x＋4 ……8分
解法二：
令二次函数y＝f（x）的图像与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），……1分
则x1＋x2＝2，x2－x1＝2 ，得x1＝1－ ，x2＝1＋ ， ……3分
设二次函数f（x）＝a［x－（1－ ）］［x－（1＋ ）］ ……5分
又f（0）＝4得a＝－2 ……7分
则f（x）＝－2（x－1）2＋6＝－2x2＋4x＋4 ……8分
（2）由条件知－2x2＋4x＋4<x＋c ……10分
即2x2－3x－4＋c>0对x∈R恒成立△＝9＋8（4－c）>0 ……12分
使c>
∴c的取值范围是（ ，∞） ……13分
19．解：（Ⅰ）由题意，ξ～ ，η～ ，
所以 ， …4分
（Ⅱ）
……8分
甲获胜有以下情形：
则甲获胜的概率为 。…………13分
20．解：（1）由 解得m＝1，t＝－1，所以f（x）＝2x－1
于是Sn＝2n－1（n∈N＋） ……2'
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－（2n－1－1）＝2n－1；
当n＝1时，S1＝a1＝1也适合上式
∴an＝2n－1（n∈N＋） ……5'
（2）bn＝2log2an＋1＝2（n－1）＋1＝2n－1 ……6'
则 ……7'
∴ni＝1
＝
＝（n∈N＋） ……9'
∵在n∈N＋上单调递增，
∴当n＝1时，min＝ ……10'
又＞0，故＜ ……11'
综上可得：∑,sup5(ni＝1. ……12'
21．解：（1）设P（x， y）则x＝2（1＋2＋3＋4＋…＋n），
y＝2＋22＋23＋24＋…＋2n即所求P的坐标为（n（n＋1），2n＋1－2）n∈N。
（2）令Pn（xn，yn）则 n∈N＋，消去n得轨迹方程y－ x＝0，x∈N＋且x为偶数 ……8分
（3）如图，所求面积为
即S＝6×2n－2n－4×2n＝2n，n∈N， ……4分
22．解：（1）
解得 .（或利用对称性求解） 2分
⑵ 由（1）， ，
∴ ∴ ，………5分
⑶
………7分
，
，解得 ……10分
∴ 的取值范围是： . ……12分
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