数 学 2008.1

一填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)

1.设集合 集合 则 = ▲ .

2.函数 的最小正周期是 ▲ .

3.计算 ▲

4.函数 的图象关于直线 对称.则 ▲

5.命题“ ”的否定是 ▲

6.右图为80辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图,

则时速在 的汽车大约有 ▲ 辆.

7.把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长

度大于另一段长度的2倍”的概率为 ▲

8．函数 在 上的单调递增区间为 ▲

9．圆 上一点到直线 的距离的最小值为 ▲

10．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 ▲ cm3.

11.一个算法的流程图如图所示，则输出S为 ▲

12．已知向量a,b,c满足： c=a b,且c⊥a,则a与b的夹角大小是 ▲

13．已知 当mn取得最小值时，直线 与曲线 的交点个数为 ▲

14．在计算“ ”时，某同学学到了如下一种方法：

先改写第k项： 由此得

…

相加，得

类比上述方法，请你计算“ ”，其结果为 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

在 中，角A、B、C的对边分别为 ，已知向量

且满足 ，

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若 试判定 的外形。

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，且PD与底面ABCD所成的角为 ，

（Ⅰ）求证：PA⊥平面PDC；

（Ⅱ）已知E为棱AB的中点，问在棱PD上是否存在一点Q，使EQ∥平面PBC？若存在，写出点Q的位置，并证实你的结论；若不存在，说明理由。

17．（本小题满分15分）

如图，已知椭圆C： 的左右焦点分别为F1、F2，点B为椭圆与y轴的正半轴的交点，点P在第一象限内且在椭圆上，且PF2与x轴垂直，

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点B关于直线 的对称点E（异于点B）在椭圆C上，求m的值。

18．（本小题满分15分）

已知直线 与圆 交于不同点An、Bn,其中数列 满足： .

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）设 求数列 的前n项和 .

19．（本小题满分16分）

某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交 元（ 为常数，2≤a≤5 ）的税收.设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与 (e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

（Ⅰ）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。

20．（本小题满分16分）

已知函数

（Ⅰ）试判定 在定义域上的单调性；

（Ⅱ）当 时，求证

参考答案

一、填空题

1．{2，3} 2. 3.1 i 4.3 5. 6.24 7. 8.

9.2 10. 11. 45 12. 13.2 14.

二、解答

15．（1）

（2） 。

16．（1）略

（2）存在 当点Q为PD中点时，EQ∥平面PBC

取PC中点证实BEQF为平行四边形即可。

17．（1）椭圆C方程为： ，

（2）BE⊥l, BE方程：

由 得

18．（1）圆心到直线的距离 ，

（2）

相减得

19．（1）设日销售量为

则日利润

（2）

①当2≤a≤4时，33≤a 31≤35，当35 <x<41时，

∴当x=35时，L（x）取最大值为

②当4＜a≤5时，35≤a 31≤36，

易知当x=a 31时，L（x）取最大值为

综合上得

20．（1）

（2）由（1）知

。