2008年3月

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

若 \* MERGEFORMAT （ ）

A．{3} B．{1} C． \* MERGEFORMAT D．{– 1}

若 \* MERGEFORMAT （ ）

A．– 3 B． \* MERGEFORMAT C．3 D． \* MERGEFORMAT

函数 \* MERGEFORMAT 的反函数是（ ）

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT

C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

不等式 \* MERGEFORMAT 的解集是（ ）

A． \* MERGEFORMAT B．(– 1，2)

C． \* MERGEFORMAT D．(– 2，1)

椭圆 \* MERGEFORMAT 的离心率为（ ）

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

已知 \* MERGEFORMAT 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

为了了解某校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）

A．400 B．200 C．128 D．20

连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a = (m，n)与向量b = (1，– 1)的夹角为 \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT 的概率是（ ）

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

“a = b”是“直线y = x 2与圆 \* MERGEFORMAT 相切”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

把函数 \* MERGEFORMAT 的图象按向量 \* MERGEFORMAT 平移后，得到 \* MERGEFORMAT 的图象，则 \* MERGEFORMAT （ ）

A． \* MERGEFORMAT B． \* MERGEFORMAT C． \* MERGEFORMAT D． \* MERGEFORMAT

下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）

\* MERGEFORMAT

A B C D

设集合M = {1，2，3，4，5，6}，S1、S2、…、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的 \* MERGEFORMAT ，都有 \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT ．则k的最大值是（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上．

设变量x、y满足约束条件 \* MERGEFORMAT ，则目标函数 \* MERGEFORMAT 的最小值为____________．

已知函数 \* MERGEFORMAT 为偶函数，它的最小正周期是3， \* MERGEFORMAT ，则 \* MERGEFORMAT ____________．

在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是______________．（写出所有正确的结论的编号）

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

16. 对于一切实数x，令 [ x ] 为不大于x的最大整数，则函数 \* MERGEFORMAT 为高斯实数或取实数，若 \* MERGEFORMAT ，Sn为数列{an}的前几项和，则 \* MERGEFORMAT ____________．

三、解答题：本题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证实过程及演算步骤．

17.(本小题满分13分)

已知向量 \* MERGEFORMAT

当a // b时，求 \* MERGEFORMAT 的值；

求 \* MERGEFORMAT 的值域．

18.(本小题满分13分)

一次考试中共12道选择题，每道题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案：每题答对得5分，不答或答错得0分．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中:有两道题可以判定两个选项是错误的，有一道题可以判定一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜．求出该考生：

得60分的概率；

恰有一道错误的概率．

19.(本小题满分12分)

已知实数列{an}是等比数列，其中a7 = 1，且a4，a5 1，a6成等差数列．

求数列{an}的通项公式；

数列{an}的前n项和记为Sn，证实： \* MERGEFORMAT ．

20.(本小题满分12分)

如图，在Rt△AOB中， \* MERGEFORMAT ，斜边AB = 4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转而得，且二面角B—AO—C是直二面角，动点D在斜边AB上．

当D在AB中点时，求异面线AO与CD所成角的大小；

求CD与平面AOB所成角的最大值．

21.(本小题满分12分)

设函数 \* MERGEFORMAT ．

求 \* MERGEFORMAT 的最小值 \* MERGEFORMAT ；

若 \* MERGEFORMAT 对 \* MERGEFORMAT 恒成立，求实数m的取值范围．

22.(本小题满分12分)

如图，直线 \* MERGEFORMAT 与椭圆 \* MERGEFORMAT 交于A、B两点，记△AOB的面积为S．

求在k = 0，0 < b < 1的条件下，S的最大值；

当 | AB | = 2，S = 1时，求直线AB的方程．

数学试题参考答案（文科）

2008年3月

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．D 2．D 3．A 4．D 5．A 6．C 7．A 8．C 9．B 10．C 11．D 12．B

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．

13． \* MERGEFORMAT 14．7 15．①③④⑤ 16． \* MERGEFORMAT

三、解答题：本题共6小题，共74分．

17．解：(1) 由 \* MERGEFORMAT 得

\* MERGEFORMAT

∴ \* MERGEFORMAT

∴ \* MERGEFORMAT

又 \* MERGEFORMAT

(2) \* MERGEFORMAT

∴ \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT

∴ 值域为 \* MERGEFORMAT

18．解：(1) \* MERGEFORMAT

(2) \* MERGEFORMAT

19．解：(1) \* MERGEFORMAT

∴ \* MERGEFORMAT

(2) \* MERGEFORMAT

(2) 解：建立以O为坐标原点的空间直角坐标系

O（0，0，0），A（0，0， \* MERGEFORMAT ），

C（2，0，0），D（0，1， \* MERGEFORMAT ）

∴ \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT

∴ \* MERGEFORMAT

∴ 所成角的大小为 \* MERGEFORMAT

(3) OC⊥平面AOB

∴ 平面AOB的法向量为 \* MERGEFORMAT

D (0，y， \* MERGEFORMAT )

∴ \* MERGEFORMAT ，即求 \* MERGEFORMAT 的最小值

∴ \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT 即求 \* MERGEFORMAT

21．解：(1) \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT

(2) 即 \* MERGEFORMAT 对 \* MERGEFORMAT 恒成立

又即 \* MERGEFORMAT 对 \* MERGEFORMAT 恒成立

令 \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT 在（0，1）递增，在（1，2）递减

∴在（0，2）内有最大值 \* MERGEFORMAT ，从而m > 1

22．解：(1) 当k = 0时， \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT （当 \* MERGEFORMAT 时取“=”）

∴ S的最大值为1

(2) 由(1)可知， \* MERGEFORMAT 不满足条件

设 \* MERGEFORMAT ①

①与 \* MERGEFORMAT 联立得： \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT ①

\* MERGEFORMAT

∴ \* MERGEFORMAT

由 \* MERGEFORMAT 可知， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ， \* MERGEFORMAT ，此时代入① \* MERGEFORMAT

∴ 直线AB的方程为： \* MERGEFORMAT