高考教学第二次质量统一检测

数学试题（文科）

命题、审题：章 帆（株洲市四中） 叶美雄（南方中学） 曾辰晖（炎陵一中）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

参考公式： http://www.mathedu.cn

假如事件A、B互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式

假如事件A、B相互独立，那么 其中，c表示底面周长、l表示斜高或

母线长

假如事件A在1次实验中发生的概率是 球的体积公式

P，那么n次独立重复实验中恰好发生k

次的概率 其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上。

1、函数 的定义域是（ ）

A、 B、 C、 D、

2、 垂直，则 等于( )

A. B. 1 C. D.

3、某单位有职工160人，其中有业务人员120人，治理人员16人，后勤人员24人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若要用分层抽样的方法抽取的业务人员、治理人员、后勤人员的人数分别为（ ）

（A） 7、6、7 （B） 15、2、3

（C） 10、6、4 （D） 17、1、2

4、已知 则 的值为（ ）

A． B． C． 　　　　 　 D．

5、等差数列 中，若 ， ，则前9项的和 等于（ ）

　　A．66　　　　 B．99　　　　　 C．144　　　　　 D．297

6、关于直线 以及平面 ，下面命题中正确的是（ ）

A．若 则 B．若 则

x

y

C．若 且 则 D．若 则

7、函数 的图象过原点且它的导函数 的图象是

如图所示的一条直线, 则 的图象的顶点在( )

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

8、已知 则x,y之间的大小关系是（ ）

A. B. C. D．不能确定

9、设A、B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0)，条件甲： ； 条件乙：点C的坐标是方程 eq \f(x2,4) eq \f(y2,3) = 1 (y¹0)的解. 则甲是乙的（ ）

（Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件

（Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不是充分条件也不是必要条件

10、设数列 的前n项和为 ，令 ，称 为数列 ， ，…， 的“理想数”，已知数列 ， ，…， 的“理想数”为2004，那么数列8， ， ，…， 的“理想数”为 （ ）

A．2008 B．2006 C． 2004 D． 2002

第Ⅱ卷（非选择题）

http://www.mathedu.cn

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11、 展开式中 的系数是_____________

12、如图已知正四棱锥 侧棱长为 ，底面边长为 ，

是 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为______________

13．有3个相识的人某天乘同一火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一节车厢相遇的概率是________________

14、已知双曲线 ，其左右焦点分别为F1、F2，圆C：

且 ，则双曲线的离心率为________________

15、假如直线 与圆 相交于M、N两点，且点M、N关于直线 对称，动点 在不等式组 表示的平面区域的内部及边界上运动,则

(1)不等式组所确定的平面区域的面积为1;

(2)使得目标函数 取得最大值的最优解有且仅有一个;

(3)目标函数 的取值范围是 ;

(4)目标函数 的最小值是 .

上述说法中正确的是 （写出所有正确选项）

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤。

16、(本题满分12分) ．

已知向量 ，且与向量 所成角为 ，其中A、B、C是△ABC的内角。（1）求角Ｂ的大小； （2）若 =1，AC=2 ，求△ABC的面积。

17、（本题满分12分）

设方程 ，其中b、c ，

（1）求方程有实根的慨率；

（2）若函数 为偶函数，且 对 恒成立，

求 在 上的最大值。

18、（本题满分12分）

在直棱柱 中， ， 为棱 上一点， ， 为 的中点．

（1）、若E为线段AD上（不同于A、D）的任意一点，

求证：EF⊥ ；

（2）、试问：若 ，在线段 上的点 能否使 与平面

成 的角？证实你的结论．

19、（本题满分12分）．

假设A型进口车关税税率在2002年是100％，在2007年是25％，2002年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．

　　（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90％，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？

（2）某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8％（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？

20、（本小题满分13分）

已知函数

（1）当 时，证实 在 内是减函数；

（2）若 在 内有且只有一个极值点，求 的取值范围。

21、（本题满分14分）

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点F（c，0）（ ）的准线 与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若 ，求直线PQ的方程；

（3）设 （ ），过点P且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点M，

证实 。

数学参考答案（文科）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

题号

1

２

３

４

５

６

７

８

９

１０

答案

B

D

B

C

B

D

A

C

B

A

二、填空题：（本大题共５小题，每小题５分，共２５分。把答案填写在相应的横线上。）

11、28； 12、 ； 13、 eq \f(7,25)； 14、 ； 15、（1）、（4）

三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答要写出文字说明、证实过程或演算步骤）

16、解：（1）∵ , 且与向量 所成角为

∴ ， ∴ ， ------------------3分

又 ，∴ ，即 。 -------------------6分

（2）由（1）可得：

∴

∵ ， ∴ ，

∴ ， ∴ 当 =1时，A= ---------10分

∴AB=2， 则 --------12分

17、解：（1）设事件A为方程有实根，由 得

基本事件共有9种，事件A有6种，

∴ ---------6分

（2）∵ 是偶函数，

∴b=c,即

又 恒成立，即 对 恒成立

∴ ，∴c=3

∴ ---------12分

18、解（1）连DF，AB＝AC，D为BC的中点 AD⊥BC，

直棱柱 平面 ⊥平面ABC，

所以AD⊥平面 ，DF为EF在平面 上的射影（*），因为BF＝BC＝ ，BF∶ ＝2∶1

＝ BF＝ BC＝BD，

所以Rt△DBF≌Rt△ ，∠DFB＝∠ ，

∠DFB＋∠ ＝∠ ＋∠ ＝90°，

所以∠ ＝90°，EF⊥ 　 ………………7分

（2）由（*）知∠EFD为EF与平面 成的角，若E为AD上一点，AB＝2a，

则tan∠EFD＝ ，∠EFD＜60°，

即线段AD上的点E不能使EF与平面 成60°的角 ………………12分

19、解：（1）2007年A型车价为32＋32×25％＝40（万元）

　　设B型车每年下降d万元，2002，2003……2007年B型车价格为：（公差为-d）

　　 ， …… 　∴　 ≤40×90％　∴　46-5d≤36　d≥2

　　故每年至少下降2万元 ………………6分

　　（2）2007年到期时共有钱

　　 ＞33（1＋0.09＋0.00324＋……）＝36.07692＞36（万元）

故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车 ………………12分

20、解： ………………2分

（1）

又

………………4分

由二次函数的图象可知， 时，恒有

在（－1，1）内是减函数 ……………… 6分

（2）由于

若令

有

必有两个极值点 ………………8分

要使 在（－1，1）内只有一个极值点必须且只需

即 ……………… 13分

21、解：（1）由题意，可设椭圆的方程为 。

由已知得 解得 ，

所以椭圆的方程为 。 ……………… 4分

（2）由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为 。由方程组

得 ，依题意 ，得 。 ……………… 6分

设 ，则 ， ①， 。 ②

由直线PQ的方程得 。于是

。 ③

∵ ，∴ 。 ④

由①②③④得 ，从而 。

所以直线PQ的方程为 或 ………… 9分

（3）证实： 。由已知得方程组

注重 ，解得 ………… 12分

因 ，故

。而 ，

所以 。 ………… 14分