高三理科数学第一学期期末考试

理科数学

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 下列函数中，最小正周期为 的是 （ ）

A． B．

C． D．

2. 已知等差数列 的公差为2, 若 成等比数列, 则 =( )

A . –4 B. –6 C. –8 D. –10

3. 已知函数 是 的反函数，若 的图象过点（3，4），则 等于（ ）

A． B． C． D．

4. 若 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在 （ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5. （2x3－ ）7的展开式中常数项是（ ）

A 14 B －14 C 42 D －42

6. 设集合A={x|x2<a} ,B={x|x<2},若A∩B=A, 则实数a的取值范围是（ ）

A．a<4 B.a£4 C. 0<a£4 D. 0<a<4

7. 设抛物线 与过其焦点的直线交于 两点，则 的值

A 　　　　 B 　　　　　C 　　　　 D

8. 已知 =(2,3), =(-4,7),则 在 方向上的投影为（ ）

 A  B  C  D

9. P为椭圆 上的点， 是两焦点，若 ，则 的面积是（ ）

A. B. C. D. 16

10. 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )

A B C D

11. 若关于x的方程x2-x a=0和x2-x b=0(a )的四个根可以组成首项为 的等差数列，则a b的值为（ ）

A. B. C. D.

12.定义行列式运算 = .将函数 的图象向左平移 （ ）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数 的定义域为　　　　　　　　．

14. 过长方体的同一个顶点的三条棱长为3cm、4cm、5cm，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是 cm2.

15. 若椭圆 的离心率为 ,则双曲线 的离心率为­_______

16. 定义“符号函数”f（x）=sgnx=

则不等式x 2＞（x－2）sgnx的解集是___________.

高三理科数学答题卡

座位号

一. 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二．填空题: 本大题有4小题, 每小题5分, 共20分.

13. 14.

15. 16.

三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22题各12分，共70分．

解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．

17. 中， ，求 的值和 的面积.

18. 一个袋子中有4个红球和3个黑球，现从该袋中取出4个球，规定取到一个红球得3分，取到一个黑球得1分，记所取球的得分为 .

（Ⅰ）求 的概率;

(Ⅱ) 求随机变量 的数学期望 .

19. △OAB是边长为4的正三角形，CO⊥平面OAB且CO=2，设D、E分别是OA、AB的中点。

（Ⅰ）求证：OB∥平面CDE；

（Ⅱ）求二面角O-DE-C的大小。

A

E

B

O

C

D


20. 已知函数 在 处取得极值2.

（Ⅰ）求函数 的解析式；

（Ⅱ）直线 与 的图象相切于点P ，求直线 的方程.

（Ⅲ）m满足什么条件时，函数 在区间 上单调递增？

21. 如图，点 为双曲线 : （ ， ）的左焦点，左准线 交 轴于点 ，点P是 上的一点，已知 ，且线段PF的中点 在双曲线 的左支上.

（Ⅰ）给出b和c 的关系式，并用c表示点M的坐标；

（Ⅱ）求双曲线 的标准方程；

（Ⅲ）若过点 的直线 与双曲线 的左右两支分别交于 、 两点，

设 ，当 时，求直线 的斜率 的取值范围.


22. 已知 ， . 数列 满足 .

（Ⅰ）证实： ；

（Ⅱ）已知 ≥ ，证实： ；

（Ⅲ）设 是数列 的前 项和，判定 与 的大小，并说明理由.

高三数学参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. ）

1．B 2. B 3. D 4. D / C 5. A 6.B 7. B 8. C 9. B 10. B 11. C 12. B

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分. ）

13． 14. 50π 15. 16. （－ ， ∞）

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤。）

17．解：

，

所以 ，

。

18.解：（Ⅰ） 时,这四个球中有1个红球,3个黑球………………………..2分

……………………………………………………….4分

(Ⅱ)随机变量 的可能取值有：6、8、10、12，

， ，

， …………7分

6

8

10

12

故随机变量 概率分布列是：

…….………………………8分

…………………………………11分

答: （Ⅰ） 当 时的概率为 ;

(Ⅱ)随机变量 的数学期望 为 .……12分

A

E

B

O

C

D

19． 解：（1）证实：∵DE是△AOB的中位线

∴DE∥OB

DE 平面CDE

OB 平面CDE

∴OB∥平面CDE

（2）解法一：

作OM⊥直线DE于M点，

∵CO⊥平面OAB，由三垂线定理CM⊥DE，作OH⊥CM于H

则OH⊥相交直线CM、ME，∴OH⊥平面CDE

已证OM，CM都垂直于DE，∴∠OMC是二面角O-DE-E的平面角 ，

cos∠OMC= = = ，∴二面角O—DE-C的大小为arccos

解法二：

如图，以O为原点， 为z轴正向， 为y轴正向，在平面OAB内作OF⊥y轴并以 为x轴正向建立空间直角坐标系（如图）

则题意得:O(0,0,0),A(2 ,2,0)

A

E

B

O

C

D

B(0,4,0),C(0,0,2)

D( ,1,0),E( ,3,0)

取平面CDE的法向量 =（2，0， ）

取平面OAB的法向量 =（0，0，2） cos< , >= = =

∴二面角O—DE—C的大小为arccos

20. （I） ;

（Ⅱ） ;

（Ⅲ） .

21．（Ⅰ）由 …①， ，∴ …②．

由中点坐标公式 .

（Ⅱ）又 在双曲线上，∴ …③．

联立①②③，解得 ， ．

∴双曲线方程为 ．

注：对点M用第二定义，得 ，可简化计算．

（Ⅲ）由（Ⅱ）， ，设 ， ，m： ，

则由 ，得 ， ．

由 ，得 ．

∴ ， ． ．

由 ， ， ，消去 ， ，

得 ．

∵ ，函数 在 上单调递增，

∴ ，∴ ．

又直线m与双曲线的两支相交，即方程 两根同号，

∴ ． ∴ ，故 ．

22．解：（I）∵ ，∴ .

∴ . ∴ .

下面用数学归纳法证实： .

① 时， ，故结论成立.

②假设 时结论成立，即 .

∴ ，即 .

也就是说 时，结论也成立.

由①②可知，对一切 均有 .

（Ⅱ）要证 ，

即证 ，其中 .

令 ， .

由 ，得 .

0

—

极大值

又 ， .

∴当 ， . ∴ .

∴ . 即 .

（Ⅲ）由（Ⅱ）知： .

∴ .

∴ .

又 ，即 . ∴ .