高考数学（文理科）模拟卷(一)
命题人：徐唐藩 校对：蒋李萍 方肇飞 编审：高三数学组
第(Ⅰ)卷 (选择题 共60分)
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1.已知非空集合 
、 
、 
都是全集 
的子集,且 
,则( ).
A. 
B. 
C. 
D. 
2.(文)在检查产品尺寸过程中,将其尺寸分成若干组, 
是其中一组,抽查出的个体在该组上频率
为 
,该组上的直方图的高为 
,则 
( ).
A. 
B. 
\* MERGEFORMAT
C. 
\* MERGEFORMAT
D. 
(理)在某学校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的成绩近似服从正态分布 
.已知成绩在
分以上(含
分)的学生有 
名,则此次竞赛的学生总人数约( )人.
(参考数据： 
)
A. 
B. 
C. 
D. 
3.“ 
”是 “ 
”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.等比数列中, 
,则 
的值为( ).
A. 
B. 
C. 
D. 
5.已知 
,且 
,其中 
,则关于 
的值,以下四个答案中,可能正确
的是( ).
A. 
B. 
或 
C. 
D.
或
6.(文)若 
的展开式中含有常数项,则这样的正整数 
的最小值是( ).
A.
B. 
C. 
D.
(理)函数 
在 
处连续,则 
的值为( ).
A. 
B. 
C. 
D.
7.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的个数为( ).
A.
B.
C.
D.多于
个
8.已知实数 
满足不等式组 
,且 
的最小值为
,则实常数
的
取值范围是( ).
A. 
B. 
C. 
D. 
9.在正方体 
中, 
分别为 
和 
的中点,则 
与平面 
所成的角
为( ).
A. 
B. 
C. 
D. 
10.(文)设双曲线 
的右准线与两条渐近线交于 
、 
两点,右焦点为 
,且
,则双曲线的离心率为( ).
A. 
B. 
C. 
D.
(理)设双曲线 
的左、右焦点为 
、 
,若该双曲线上有一点 
到点
的距离为
,且 
的内切圆圆心 
的横坐标为 
,则该双曲线的离心率为( ).
A. 
B. 
C. 
D.
11.设 
为 
的内心,当 
, 
, 
时, 
,则 
( ).
A. 
B. 
C. 
D. 
12.(文)已知二次函数 
的值域是 
,那么 
的最大值是( ).
A.
B.
C.
D.
(理)已知二次函数
的值域是
,那么 
的最小值是( ).
A. 
B.
C.
D.
第(Ⅱ)卷 (非选择题 共90分)
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.已知函数 
,且 
,则函数 
的值域为 
.
14.(文)已知抛物线 
,过点 
的直线与抛物线交于两点 
,则 
的
最小值为
.
(理)已知抛物线
上的点
到抛物线的准线距离为 
,到直线 
的距离为 
,
则 
的最小值为
.
15.假如一个三位数 
满足 
且 
,则称这样的三位数为“非凸数”(如 
等),
那么所有非凸数的个数是
.
16.有两个相同的直三棱柱,高为
,底面三角形的三边长
分别为 
、 
、 
.用它们拼成一个三棱柱
或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个
四棱柱,则 
的取值范围是
.
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证实过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知
三内角
、
、 
成等差数列, 
, 
.
(Ⅰ)若 
,判定
外形；
(Ⅱ)求 
取得最大值时
三内角的大小.
18.(本小题满分12分)(文)已知函数 
.
(Ⅰ)当 
时,若
满足 
, 
,试求
的解析式；
(Ⅱ)当 
时, 
图象上的任意一点处的切线斜率 
恒成立,求
的取值范围.
(理)已知函数 
.
(Ⅰ)求
在 
上的极值；
(Ⅱ)若对任意 
,不等式 
成立,求实数
的取值范围.
19.(本小题满分12分)(文)在中国红歌会的全国十强歌手中,有男歌手
人,女歌手 
人,另一名为三
人组合歌手.现从中任选
名歌手参加某专场演出.
(Ⅰ)求三人组合歌手参加演出的概率；
(Ⅱ)求至多有
名男歌手参加演出的概率.
(理)盒中有
张卡片,其中 
张写有字母
,
张写有字母
,每次从中任取
张卡片,直到取出卡
片
为止.
(Ⅰ)若不放回抽取卡片,求取卡片次数的期望和方差；
(Ⅱ)若有放回抽取卡片,求取卡片次数的分布列和期望值.
20.(本小题满分12分)如图,已知正三棱柱
中,
,
,点
、
、
分别在
棱 
、 
、 
上,且 
.
(Ⅰ)求平面 
与平面 
所成锐二面角的大小；
(Ⅱ)求点 
到平面
的距离..
21.(本小题满分12分)(文)已知数列 
是首项 
,公比 
的等比数列.设
,且 
, 
.
(Ⅰ)求数列
的通项公式；
(Ⅱ)设 
的前
项和为 
,求当 
最大时
的值.
(理)已知数列
与
有如下关系： 
, 
, 
.
(Ⅰ)求数列
\* MERGEFORMAT
的通项公式；
(Ⅱ)令 
\* MERGEFORMAT
求数列 
\* MERGEFORMAT
的通项公式；
(Ⅲ)设 
\* MERGEFORMAT
是数列
的前
项和,当 
时,求证 
\* MERGEFORMAT
.
22.(本小题满分14分)(文)椭圆 
左、右焦点分别为
、
,
是椭圆上一点,
,设 
.
(Ⅰ)求椭圆离心率 
和 
的关系式；
(Ⅱ)设
是离心率最小的椭圆上的动点,若 
的最大值为 
,求椭圆的方程.
(理)椭圆
左、右焦点分别为
、
,
是椭圆上一点,
,
设 
.
(Ⅰ)求椭圆离心率
和
的关系式；
(Ⅱ)过
点离心率最小的椭圆的切线,交 
轴于
点,求证： 
.
参考答案
命题人：徐唐藩 校对：涂彩琴 方肇飞 编审：高三数学组
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
|
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
答案 |
D |
文B
理B |
B |
A |
C |
文B 理D |
C |
B |
C |
文D 理A |
B |
文A 理B |
提示：(文)
12.(文)由二次函数
的值域是
,得
且 
,∴ 
且
, 
.∴ 
.当 
时取等号.
(理)提示：由二次函数
的值域是
,得
且
,∴
且
,
.∴ 
.
当
时取等号.
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13. 
14.(文)
(理) 
15. 
16. 
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证实过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由
、
、
成等差数列及 
,知 
.
∵
,∴ 
.由
、
、
为三角形
内角,且 
,∴ 
,故
为等边三角形.
(Ⅱ) 
,
∴当 
时,
取得最大值
,此时, 
,
.
18.(本小题满分12分)(文) 解：(Ⅰ)由 
,得 
或 
.
当
,
变化时, 
、
的变化如下表：
∴ 
, 
,解得 
, 
.∴ 
.
(Ⅱ)由题意,
时,恒有 
,即 
恒成立.∵ 
,当且仅当
时取等号,∴ 
,故
的取值范围为 
.
(理)解：(Ⅰ) 
,令 
得 
或 
(舍去)
∴当 
时, 
单调递增；当 
时, 
单调递减.
∴ 
为函数
在
上的极大值.
(Ⅱ)由
得, 
或 
.
设 
, 
,依题意知 
或
在
上恒成立, ∵ 
,
,∴ 
与 
都在 
上单增,要使不等式①
成立,当且仅当 
或 
,即 
或 
.
19.(本小题满分12分)(文)解：(Ⅰ) 
.
(Ⅱ) 
或 
.
(理)解：(Ⅰ)取卡片次数 
的可能值为 
.∴ 
. 
,
, 
.故 
.
.
(Ⅱ)设有放回抽取卡片时,取卡片次数为 
,则
的可能值为 
.
∵ 
,
∴
的分布列为：
∴ 
.
20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)延长 
、 
相交于点 
,连结 
,则二面角 
的大小为所求.作 
于点
,连结 
,由三垂线定理知
.∴ 
为所求二面角的大小.由已知 
, 
,
.由余弦定理得, 
.
∴ 
,可得 
.
在 
中, 
,则所求角为 
.
(Ⅱ)由已知矩形 
的面积为 
, 
, 
, 
,
∴ 
.取 
的中点 
,则 
.
作 
交 
于点 
,可得 
,∴ 
平面 
, 
.由 
,
,得 
.设所求距离为 
,则由 
得,
,∴ 
为所求.
21.(本小题满分12分)
(文)解：(Ⅰ) 
.∵
,
∴ 
.又
,若 
,则 
,即 
,这与 
矛盾,故 
.∴ 
, 
, 
.∴ 
.
(Ⅱ)∵ 
,∴
是首项为
,公差为 
的等差数列,∴ 
,
.故 
是首项为
,公差为 
的等差数列.∵ 
时, 
； 
时, 
；
时, 
.故当 
或
时,
最大.
(理)解：(Ⅰ)∵ 
\* MERGEFORMAT
,∴ 
.
∴ 
\* MERGEFORMAT
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 
,∴ 
\* MERGEFORMAT
.
∴ 
.
(Ⅲ)∵当
时, 
,当且仅当 
\* MERGEFORMAT
时取等号.且 
,
故 
, 
,……, 
. 以上 
个式子相加,
得 
,∴ 
,
∴ 
,∴ 
.
故 
得证.
22.(本小题满分14分)(文)解：(Ⅰ) 
,
,∴ 
, 
.
由余弦定理, 
,得 
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 
, 
, 
,∴ 
时,
的最小值为
.当 
时, 
.可设椭圆的方程 
此时由
得,
,∴ 
.设 
,则 
.当 
时,
的最大值为 
,
∴ 
,故椭圆的方程 
.
(理)解：(Ⅰ)
,
,∴
,
.由余弦定理,
,得
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
.设 
,知 
时,
在
上单调递增,∴ 
时, 
,得 
.设 
,则 
, 
.不妨设
点 
在第一象限.由 
, 
得, 
,∴ 
.
设 
是椭圆上动点,则 
,相减得 
,
即 
.则 
时, 
.设切线 
的方程为：
①, 又 
②. 将②代入①整理得, 
.
令 
得,
,∴ 
.又 
,故
.
