第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．

1.命题“ ”的否命题是( )．

A. B.

C. D.

2.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接受方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文 对应密文 ，例如，明文 对应密文 ．当接受方收到密文 时，则解密得到的明文为（ ）．

A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7

3.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值等于（ ）．

A. B. C. D.

4.已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的离心率等于（ ）．

A． B． C． D．

5.在一次射击练习中，一小组的成绩如下表：

已知该小组的平均成绩为 环，那么成绩为 环的人数是（ ）．

． ． ． ．

6. 下列函数为奇函数的是（ ）．

． ． ． ．

7. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ 　 ）．

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

8.假如执行下面的程序框图，那么输出的 （ ）．

Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652

9.将函数 的图象先向左平移 ，然后将所得

图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则

所得到的图象对应的函数解析式为（ ）．

A． B．

C． D．

10.已知全集R，集合 ,若 ，则有( )．

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．

11．化简： ．

12. 已知 是定义在R上的函数，且对任意 ，都有： ，又 则 ．

13.若实数 满足条件 ，则目标函数 的最大值为 ．

14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，圆 上的动点到直线 的距离的最大值是 ．

15. (几何证实选讲选做题)如右图所示， 是圆 的直径，

， ， ，则 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证实过程和演算步骤．

16.（本小题12分）

在△ABC中， 是角 所对的边，且满足 ．

(Ⅰ)求角 的大小；

(Ⅱ)设 ，求 的最小值.

17．(本小题14分)

已知：正方体 ， ，E为棱 的中点．

(Ⅰ) 求证： ；

(Ⅱ) 求证： 平面 ；

（Ⅲ）求三棱锥 的体积．

18．（本小题12分）

有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 ．

(Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率；

(Ⅱ)求他不乘轮船来的概率；

（Ⅲ)假如他来的概率为 ，请问他有可能是乘何种交通工具来的？

19.（本小题14分）

设函数 的图象关于原点对称， 的图象在点 处的切线的斜率为 ，且当 时 有极值．

(Ⅰ)求 的值；

(Ⅱ)求 的所有极值．

20. (本小题14分)

已知圆 ： 和圆 ，直线 与圆 相切于点 ；圆 的圆心在射线 上，圆 过原点，且被直线 截得的弦长为 ．

(Ⅰ)求直线 的方程；

(Ⅱ)求圆 的方程．

21．（本小题14分）

已知数列 是等差数列， ；数列 的前n项和是 ，且 ．

(Ⅰ) 求数列 的通项公式；

(Ⅱ) 求证：数列 是等比数列；

(Ⅲ) 记 ，求 的前n项和 ．

参考答案

1.解析：命题“ ”的否命题是：“ ”，故选C．

2.解析：由已知，得： ，故选 ．

3.解析：若 ，则 ，解得 ．故选 ．

4.解析：由题意得 ，又 ．

故选 ．

5.解析：设成绩为 环的人数是 ，由平均数的概念，得： ．

故选 ．

6.解析： 是偶函数； 是指数函数； 是对数函数．故选 ．

7.解析：①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为圆；④的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为正方形．故选 ．

8.解析：程序的运行结果是 ，选 ．

9.解析： 的图象先向左平移 ，横坐标变为原来的 倍 ．答案： ．

10.解析：非凡值法：令 ，有 ．故选 ．

11.解析： ．

12.解析：令 ，则 ，令 ，则 ，

同理得 即当 时， 的值以 为周期，

所以 ．

13.解析：由图象知：当函数 的图象过点 时，

取得最大值为2．

14. (坐标系与参数方程选做题)解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程，圆 上的动点到直线 的距离的最大值就是圆心 到直线 的距离 再加上半径 ．故填 ．

15. (几何证实选讲选做题)解析：连结 ，

则在 和 中： ，

且 ，所以 ，

故 ．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证实过程和演算步骤．

16.析：主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值．

解：(Ⅰ)∵ ，∴ ， ………………3分

又∵ ，∴ ． ……………………………………………5分

（Ⅱ） 　　 ……………………………………………6分

， ………………………8分

∵ ，∴ ．　　 ……………10分

∴当 时，取得最小值为 ． …………12分

17．析：主要考察立体几何中的位置关系、体积．

解：(Ⅰ)证实：连结 ，则 // ， …………1分

∵ 是正方形，∴ ．∵ 面 ，∴ ．

又 ，∴ 面 ． ………………4分

∵ 面 ，∴ ，

∴ ． …………………………………………5分

（Ⅱ）证实：作 的中点F，连结 ．

∵ 是 的中点，∴ ，

∴四边形 是平行四边形，∴ ． ………7分

∵ 是 的中点，∴ ，

又 ，∴ ．

∴四边形 是平行四边形， // ，

∵ ， ，

∴平面 面 ． …………………………………9分

又 平面 ，∴ 面 ． ………………10分

（3） ．　……………………………11分

． ……………………………14分

18．析：主要考察事件的运算、古典概型．

解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件 ，则 ， ， ， ，且事件 之间是互斥的．

(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为 ………4分

(Ⅱ)他乘轮船来的概率是 ，

所以他不乘轮船来的概率为 ． ………………8分　

（Ⅲ)由于 ，

所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的． …………………12分　

19.析：主要考察函数的图象与性质，导数的应用．

解：(Ⅰ)由函数 的图象关于原点对称，得 ，………………1分

∴ ，∴ ．　…………2分

∴ ，∴ ．　……………………………4分

∴ ，即 ．　　……………………6分

∴ ． ……………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，∴ ．

由 ，∴ ．　　　…………………9分

∴ ．　 ………………………14分

20．析：主要考察直线．圆的方程，直线与圆的位置关系．

解：(Ⅰ)（法一）∵点 在圆 上， …………………………2分

∴直线 的方程为 ，即 ． ……………………………5分

（法二）当直线 垂直 轴时，不符合题意． ……………………………2分

当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，即 ．

则圆心 到直线 的距离 ，即： ，解得 ，……4分

∴直线 的方程为 ． ……………………………………………5分

（Ⅱ）设圆 ： ，∵圆 过原点，∴ ．

∴圆 的方程为 ．…………………………7分

∵圆 被直线 截得的弦长为 ，∴圆心 到直线 ： 的距离：

． …………………………………………9分

整理得： ，解得 或 ． ……………………………10分

∵ ，∴ ． …………………………………………………………13分

∴圆 ： ． ……………………………………14分

21．析：主要考察等差、等比数列的定义、式，求数列的和的方法．

解：(Ⅰ)设 的公差为 ，则： ， ，

∵ ， ，∴ ，∴ ．　………………………2分

∴ ． …………………………………………4分

（Ⅱ）当 时， ，由 ，得 ． …………………5分

当 时， ， ，

∴ ，即 ．　 …………………………7分

∴ ．　　　……………………………………………………………8分

∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列．　…………………………………9分

（Ⅲ）由（2）可知： ． 　 ……………………………10分

∴ ．　…………………………………11分

∴ ．

∴ ．

∴

． ………………………………………13分

∴ ．　　…………………………………………………14分