排队人数

0—5

6—10

11—15

16—20

21—25

25人以上

概 率

0.1

0.15

0.25

0.25

0.2

0.05

（I）天天不超过20人排队结算的概率是多少？

（Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

17．（本题满分15分）

如图： 平面 ，四边形 是矩形， ， 与平面 所成的角是 ，点 是 的中点，点 在边 上移动.

（2）证实：不论点 在边 上何处，都有 ；

18．（本题满分15分）

某单位决定投资3200元建一长方体状仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁珊，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，计算：

（1）仓库面积S的最大答应值是多少？

（2）为了使仓库面积S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面用铁珊应设计为多长？

19．（本题共16分）

已知AB是椭圆 的一条弦，向量 =（2，1）以M为左焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线左支与直线AB交于点N（4，－1）

①求椭圆的离心率e1；

②设双曲线的离心率为e2，e1 e2= ，求 的解析式，并求它的定义域和值域。

20．（本题满分16分）

已知二次函数 的二次项系数为 ，且不等式 的解集为 .

（1）若方程 有两个相等的实数根，求 的解析式；

（2）若函数 在区间 内单调递减，求 的取值范围；

（3）当 时，证实方程 仅有一个实数根.

答案

一、1．必要不充分 2. 3. 4.不变 5. 6. 7. 3

8. 9. 10. 11. 10 12. 2006

13 120° 14.

15.解：（1）在 中，由 ，得 ， 又由正弦定理： 得： . ……………………6分

（2）由余弦定理： 得： ，

即 ，解得 或 （舍去），所以 . ……10分

所以，

即 . …………………14分

16. （I）天天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1 0.15 0.25 0.25=0.75，即不超过20

人排队结算的概率是0.75. ……………………4分

（Ⅱ）天天超过15人排队结算的概率为：0.25 0.2 0.05= ，……………6分

一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为 ；

一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为 ；

一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为 ；……………10分

所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：

，

所以，该商场需要增加结算窗口. ……………………14

17.（1）当点 为 的中点时， 与平面 平行.

∵在 中， 、 分别为 、 的中点

∴ ∥ 又 平面 ，而 平面

∴ ∥平面 . ………7分

（2）证实（略证）：易证 平面 ，又 是 在平面 内的射影，

，∴ . ……………………8分

18. S最大值是100 m2，铁栅长是15m.

19．解：①由 ，则M为AB的中点（2，1）.

设 则 ，

且A、B在椭圆上 ∴

两式相减得

∴

∴a2=2b2 又a2=b2 c2 ∴b2=c2

∴椭圆率心离

②由题设可知，点N在椭圆右准线L： 的左侧，所以

所以

由题意设 代入椭圆方程，消去y得

由

∴ 的定义域为

又 故值域

20.解：（1） ，

∴可设 ，

因而 ①

由 得 ②

∵方程②有两个相等的根，

∴ ，即 解得 或

由于 ， （舍去），将 代入 ① 得 的解析式 . …………………6分

（2） = ，

∵ 在区间 内单调递减，

∴ 在 上的函数值非正，

由于 ，对称轴 ，故只需 ，注重到 ，∴ ，得 或 （舍去）

故所求a的取值范围是 . …………………11分

（3） 时，方程 仅有一个实数根，即证方程 仅有一个实数根.令 ，由 ，得 ， ，易知 在 ， 上递增，在 上递减， 的极大值 ， 的极小值 ，故函数 的图像与 轴仅有一个交点，∴ 时，方程 仅有一个实数根，得证. ……………………16分