高考数学全真模拟试题
考试时间150分钟
一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题试卷上）
1、已知 
为实数集， 
，则 
.
2、若复数 
，则 
.
3、已知0＜a＜1， 
，则 
与1三者的大小关系是 .
4、如图（下面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 .
5、设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线 
与 
的位置关系是 .
6、已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60º，那么| a 3b |等于 .
7、如图（下面）已知点F1、F2分别是椭圆 
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率 
是 .
8、已知函数 
，则方程 
的实根共有 .
9、假如数据x1、x2、…、xn 的平均值为 
，方差为S2 ，则3x1 5、3x2 5、…、3xn 5 的方差为 ．
10、若抛物线 
的焦点与椭圆 
的右焦点重合，则 
的值为 .
11、设奇函数 
在 
上是增函数，且 
．若函数， 
对所有的 
都成立，则当 
时， 
的取值范围是 .
12、考察下列一组不等式：
.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.
13、若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判定框中
应填入的关于k的判定条件是 .
14、等差数列 
的前 
项和为 
，公差 
. 若存在正整数 
，使得 
，则当 
（ 
）时，有 
（填“>”、“<”、“=”）.
.
答题试卷 班级 姓名 学号
一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11.
12.
13． 14.
二、解答题（本题6大题，共90分）
15．（本小题满分14分）
已知： 
， 
（ 
）.
(1) 求
关于 
的表达式，并求
的最小正周期；
(2) 若 
时
的最小值为5，求 
的值.
16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 
，已知圆心在第二象限、半径为 
的圆 
与直线 
相切于坐标原点 
．椭圆 
与圆
的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 
．
（1）求圆
的方程；
（2）试探究圆
上是否存在异于原点的点 
，使
到椭圆右焦点 
的距离等于线段 
的长，若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
是
的中点．
（1）证实 
；
（2）证实 
平面 
；
18、（本小题满分14分）
设数列 
的前
项和为
，且 
；数列
为等差数列，且 
， 
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若 
， 
为数列 
的前
项和. 求证： 
.
19．（本小题满分16分）
某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，假如降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值
（单位：元， 
）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成
的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
20．（本小题满分18分）
已知函数 
(1) 若
在 
上单调递增，求 
的取值范围；
(2) 若定义在区间D上的函数 
对于区间D上的任意两个值 
总有以下不等式 
成立，则称函数
为区间D上的“凹函数”.
试证当 
时，
为“凹函数”.
高三数学模拟试题 班级 姓名 学号
附加题（理科考生做，本大题共4题，满分40分.考试时间30分钟）
21．（本题10分） 
和 
的极坐标方程分别为 
．
（1）把
和
的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过
，
交点的直线的直角坐标方程．
22.（本题10分）
已知实数 
满足 
， 
.试求实数
的取值范围.
23．（本小题满分10分）
某陶瓷厂预备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 
， 
， 
，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为
，
， 
．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 
，求随机变量
的期望．
24．（本小题满分10分）
右图是一个直三棱柱（以
为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为
．已知
，
，
，
，
．
（1）设点
是 
的中点，证实： 
平面
；
（2）求二面角 
的大小；
（3）求此几何体的体积．
数学试题参考答案和评分标准
一、填空题（每题5分，共70分）
1. 
2. 
3. 1＜n＜m 4. 
5. 垂直 6. 
7. 
8. 7个 9. 9S2 10. 4 11. 
或 
或 
12. 
（或 
为正整数）.注：
填 
以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分；
若填 
或 
可给3分.
13． 
. 14．<
二、解答题（共90分）
15. 解：(1) 
……………………………………………………2分
………………………………………………………………………………………………4分
. …………………………………………………………………………………………………………6分
的最小正周期是 
. …………………………………………………………………………………………………7分
(2) ∵ 
，∴ 
…………………………………………………………………8分
∴当 
即 
时，函数
取得最小值是 
. ………………………10分
∵ 
，∴ 
. …………………………………………………………………………………………………12分
16.解析：（1）圆C： 
；………………………………………………………………6分
（2）由条件可知a=5，椭圆 
，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y-1= 
,即 
，设Q（x,y），则 
，解得 
所以存在，Q的坐标为 
.…………………………………………14分
17. （1）证实：在四棱锥
中，因
底面
， 
平面
，故 
．
， 
平面 
．
而
平面
，
．
（Ⅱ）证实：由
， 
，可得 
．
是
的中点， 
．
由（1）知， 
，且 
，所以 
平面 
．
而 
平面
， 
．
底面 
在底面
内的射影是 
， 
， 
．
又 
，综上得
平面
．
（3）（课后加）：过点 
作 
，垂足为 
，连结 
．则（Ⅱ）知，
平面
， 
在平面
内的射影是
，则 
．
因此 
是二面角 
的平面角．
由已知，得 
．设 
，
可得 
．
在 
中， 
， 
，
则 
．在 
中， 
．
所以二面角
的大小是 
．
18. 解：（1）由 
，令 
，则 
，又 
，所以 
.
，则 
. ……………………………………………………………………………………2分
当 
时，由
，可得 
.
即 
. …………………………………………………………………………………………………………………………4分
所以
是以
为首项， 
为公比的等比数列，于是 
. …………5分
（2）数列
为等差数列，公差 
,可得 
. ………………7分
从而 
. ……………………………………………………………………………………8分
∴ 
……………10分
∴ 
. …………………11分
从而 
. …………………………………………………………………………14分
19．解：（1）设商品降价
元，则多卖的商品数为 
，若记商品在一个星期的获利为
，
则依题意有 
，
又由已知条件， 
，于是有 
，
所以 
．
（2）根据（1），我们有 
．
|
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
极小 |
|
极大 |
|
故 
时，
达到极大值．因为 
， 
，所以定价为 
元能使一个星期的商品销售利润最大．
20.（1）由 
，得 
……………………………………2分
若函数为
上单调增函数，则 
在
上恒成立，
即不等式 
在
上恒成立. 也即 
在
上恒成立. ……………………………………………………………………………………………………………………………4分
令 
，上述问题等价于 
，而
为在
上的减函数，则 
，于是 
为所求. …………………………………………………………6分
（2）证实：由
得
……………………………………………………………………………7分
………………………………………………………………8分
而 
① ………………………………………10分
又 
， ∴ 
② …………11分
∵ 
∴ 
，
∵
∴ 
③ ……………………………………………………………………13分
由①、②、③得 
即 
，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分
21．解：以有点为原点，极轴为
轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1） 
， 
，由 
得 
．
所以 
．
即 
为
的直角坐标方程．
同理 
为
的直角坐标方程．
（2）由 
解得 
．
即
，
交于点 
和 
．过交点的直线的直角坐标方程为 
．
22.解：由柯西不等式得，有
即 
，由条件可得， 
解得， 
当且仅当 
时等号成立，
代入 
时，
， 
时， 
.
故所求实数
的取值范围是 
.（学生只求范围，不写出等号成立不扣分）
23．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 
， 
， 
，
（1）设
表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 
，
所以 
，
故 
．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 
，则
，
所以 
，
，
，
．
于是， 
．
24．解法一：
（1）证实：作 
交 
于 
，连 
．
则 
．
因为
是
的中点，
所以 
．
则 
是平行四边形，因此有 
．
平面 
且 
平面
，
则
面
．
（2）如图，过 
作截面 
面
，分别交 
， 
于
， 
．
作 
于 
，连 
．
因为 
面 
，所以 
，则 
平面 
．
又因为 
， 
， 
．
所以 
，根据三垂线定理知 
，所以 
就是所求二面角的平面角．
因为 
，所以 
，故 
，
即：所求二面角的大小为 
．
（3）因为
，所以
．
．
所求几何体体积为
．
解法二：
（1）如图，以 
为原点建立空间直角坐标系，
则 
， 
， 
，因为
是
的中点，所以 
，
．
易知， 
是平面
的一个法向量．
因为 
，
平面
，所以
平面
．
（2） 
， 
，
设 
是平面
的一个法向量，则
则 
， 
得： 
取 
， 
．
显然， 
为平面 
的一个法向量．
则 
，结合图形可知所求二面角为锐角．
所以二面角
的大小是
．
来源: 中国哲士网
优质课公开课教师学生家长{数高三上末资料课件 备课考试教学
合作学习教育资料 [组图]高考数学全真模拟试题 文章自主测试练习题
