一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1 计算 ＝

（A） （B） （C） （D）

2 过点 的直线 经过圆 的圆心，则直线 的倾斜角大小为

（A） （B） （C） （D）

3 设函数f（ x ）的图象关于点（1， ）对称，且存在反函数 ( x )，若f（3） = 0，

则 （3）等于

（A）－1 （B）1 （C）－2 （D）2

4 设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面 给出下列四个命题：

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；　　　　　②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；　　　　　④若α∥β，β∥γ，m⊥α，，则m⊥γ

其中正确命题的序号是：

（A）①和②　　 （B）②和③　　 （C）③和④　（D）①和④

5．已知一个正四棱锥的各棱长均相等，则其相邻两侧面所成的二面角的大小为

(A)arcos (B)arcsin(- ) (C)arctan( ) (D)arccot( )

6 ，则“ ”是“ ”的

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件

7 若点 在双曲线 的左准线上，过点 且方向向量为 的光线，经直线 反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为

(A) (B) (C) (D)

8．已知四面体 中， 与 间的距离与

夹角分别为3与 ，则四面体 的体积为

（A） （B）1 （C）2 （D）

９．从1，2，3，4，5 中取三个不同数字作直线 中 的值，使直线与圆 的位置关系满足相离，这样的直线最多有

（A）30条 （B）20条 （C）18条 （D）12条

10．已知等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 ，则

(A) (B) (C) (D)

11．若 ，则方程 在（0，2）上恰有（ ）个实根．

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

12．已知M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2，且 ，点I为 的内心，延长MI交线段F1F2于一点N，则 的值为

（A） （B） （C） （D）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）

13 已知 满足 ,则 的最大值为

14 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为

15 已知定义在正实数集上的连续函数 ,则实数 的值为

16．若函数f(x)= 在(0，3)上单调递增，则a∈ 。

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤。）

17 （本小题12分）

已知函数

（I）求函数 的最小正周期;

(II) 当 时,求函数 的最大值,最小值

18 （本小题12分）

一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行不放回抽检以决定是否接收 抽检规则是这样的：一次取一件产品检查，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，而前三次中只要抽查到次品就停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品

（I）求这箱产品被用户拒绝接收的概率；

（II）记x表示抽检的产品件数，求x的概率分布列及期望

19 （本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC－ ，D是AC的中点，∠ DC = 60°

（Ⅰ）求证：A ∥平面B D；

（Ⅱ）求二面角D－B －C的大小。

20 （本小题12分）

已知函数 （ ）

(Ⅰ) 当 时,求函数 的单调区间;

(Ⅱ) 若不等式 对 恒成立,求a的取值范围

21 （本小题12分）

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线 ⊥x轴于点C， ， ,动点 到直线 的距离是它到点D的距离的2倍

（I）求点 的轨迹方程；

（II）设点K为点 的轨迹与x轴正半轴的交点,直线 交点 的轨迹于 两点（ 与点K均不重合）,且满足 求直线EF在X轴上的截距；

（Ⅲ）在（II）的条件下，动点 满足 ,求直线 的斜率的取值范围

22．（本小题14分）已知数列 中的相邻两项 是关于 的方程 的两个根，且 ．

（ = 1 \* ROMAN I）求 ， ， ， ；

（ = 2 \* ROMAN II）求数列 的前 项的和 ；

（Ⅲ）记 ，

，

求证： ．

08届考理科数学模拟试题（三）答题卷

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二、填空题：

13、 14、 15、 16、

三、解答题：

17、

18、

19、

20、

21、

22、

2008届高三数学（理科）模拟试题（三）参考答案

一、1 B 2 D 3 A 4 D 5 D 6 B

7 A 8 A 9 C 10 D 11 B 12 B

二、13、3 14、-160 15、 16、

三、17、解: (1) …… 3分

的最小正周期为 ………………… 5分

(2) , ………………… 7分

………………… 10分

………………… 11分

当 时,函数 的最大值为1,最小值 ………… 12分

18、（I）解：设这箱产品被用户拒绝接收事件为A,被接收为 ，则由对立事件概率公式

得：

即这箱产品被用户拒绝接收的概率为 ………… 6分

（II）

………… 10分

1

2

3

P

…………11分

∴ E = …………12分

19、解法一：

（Ⅰ）连结B1C交BC 于O，则O是B C的中点，连结DO。

∵在△A C中，O、D均为中点，

∴A ∥DO …………………………2分

∵A 平面B D，DO 平面B D，

∴A ∥平面B D。…………………4分

（Ⅱ）设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。

∵∠ DC = 60°，∴C = 。

作DE⊥BC于E。

∵平面BC ⊥平面ABC，

∴DE⊥平面BC

作EF⊥B 于F，连结DF，则 DF⊥B

∴∠DFE是二面角D-B -C的平面角……………………………………8分

在Rt△DEC中，DE=

在Rt△BFE中，EF = BE·sin

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

∴二面角D－B －C的大小为arctan ………………12分

解法二：以AC的中D为原点建立坐标系，如图，

设| AD | = 1∵∠ DC =60°∴| C | = 。

则A（1，0，0），B（0， ，0），C（-1，0，0），

（1，0 ）， ，

（Ⅰ）连结 C交B 于O是 C的中点，连结DO，则 O . =

∵A 平面B D，

∴A ∥平面B D.……………………………………………………………4分

（Ⅱ） =（-1，0， ），

设平面B D的法向量为n = （ x , y , z ），则

即 则有 = 0令z = 1

则n = （ ，0，1）…………………………………………………………8分

设平面BC 的法向量为m = ( x′ ,y′，z′)

=（0，0， ）， ，

′

′

′

′

即 ∴z′= 0

令y = -1，解得m = （ ，-1，0）

二面角D —B —C的余弦值为cos＜n , m＞＝

∴二面角D—B —C的大小为arc cos …………１２分

20、解: 对函数 求导得: ……………2分

(Ⅰ)当 时,

令 解得 或

解得

所以, 单调增区间为 ， ,

单调减区间为(-1,1) ……………5分

(Ⅱ) 令 ,即 ,解得 或 ………… 6分

由 时,列表得：

x

1

0

－

0

极大值

极小值

……………8分

对于 时，因为 ,所以 ，

∴ >0 ………… 10 分

对于 时，由表可知函数在 时取得最小值

所以，当 时，

由题意，不等式 对 恒成立，

所以得 ，解得 ……………12分

21、解： （I）依题意知,点 的轨迹是以点 为焦点、直线 为其相应准线,

离心率为 的椭圆

设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

又 ， ，∴点 在x轴上,且 ,则 3，

解之得： ,

∴坐标原点 为椭圆的对称中心

∴动点M的轨迹方程为： ………… 4分

（II）设 ,设直线 的方程为 （－２〈n〈2）,代入 得

………… 5分

,

………… 6分

，K（2，0）, ,

,

解得: (舍) ∴ 直线EF在X轴上的截距为 …………8分

（Ⅲ）设 ,由 知,

直线 的斜率为 ………… 10分

当 时, ;

当 时, ,

时取“=”）或 时取“=”），

综上所述 ………… 12分

22、（I）解：方程 的两个根为 ， ，

当 时， ，所以 ；

当 时， ， ，所以 ；

当 时， ， ，所以 时；

当 时， ， ，所以 ． ………… 4分

（II）解：

． ………… 8分

（III）证实： ，

所以 ，

． ………… 9分

当 时，

，

………… 11分

同时，

． ………… 13分

综上，当 时， ． ………… 14分