本试卷分第Ⅰ(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：

假如事件A、B互斥，那么P（A B）=P（A） P（B）；

假如事件A、B相互独立，那么P（A•B）=P（A）•P（B）；

球的表面积公式S= ，其中R表示球的半径。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．定义 ，若 ， ，则 （ ）

A.{4，8} B.{1，2，6，10} C.{1} D.{2，6，10}

2．在 的展开式中含 项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的 （ ）

A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项

3．使得点 到点 的距离为1的 的一个值是 （ ）

A． B． C． D．

4．已知平面上直线L的方向向量 ＝(－ , )，点O(0,0)和A(1,－2)在L上的射影分别是O1和A1，则 ＝ ，其中 ＝ ( )

A. 　　　　　　　B.－ 　　　　　　　C.2　　　　　　　　　D.－2

5．假如双曲线 上一点P到右焦点的距离等于 ，那么点P到右准线的距离是 （ ）

6．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学

生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果

用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平

均每人的课外阅读时间为 ( )

(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时

7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为 （ ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

8．设 是函数 的导函数， 的图象

9．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （ ）

A． B． C． D．

10．设 是函数 的反函数，若 ，则 的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．

11．设 是方程 的两个不等的实数根，那么过点A（ ）和

B 的直线与圆 的位置关系是 （ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

12．如图，将正三角形 以平行于一边 的直线 为折痕，折成直二面角后，顶点 转到 ，当 取得最小值时， 将 边截成的两段之比为（ ）

A.1:1 B.2:1 C.2:3 D.1:3

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．

13． 设满足约束条件：

则 的最大值是

14．直角坐标平面内，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。现有一系列顶点都为整点的等腰直角三角形 ，其中点 是坐标原点，直角顶点 的坐标为 ，点 在 轴正半轴上，则第 个等腰直角三角形 内（不包括边界）整点的个数为 _________ 。

15．密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码其明文和密文的字母按A、B、C…与26个自然数1，2，3，…依次对应。设明文的字母对应的自然数为 ，译为密文的字母对应的自然数为 。例如，有一种译码方法是按照以下的对应法则实现的： ，其中 是 被26除所得的余数与1之和（ ）。按照此对应法则，明文A译为了密文F，那么密文UI译成明文为_____________。

16．设F是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），

使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 。

17．已知矩形 的边 平面 现有以下五个数据：

当在 边上存在点 ，使 时，则 可以取_____________（填上一个正确的数据序号即可）。

18. 如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，假如小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量 围绕着点 旋转了 角，其中 为小正六边形的中心，则 .

三、解答题：本大题5小题，共66分．解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．

19．(本小题满分12分)

设函数 的最大值为M，最小正周期为T。

（1）求M、T；

（2）若有10个互不相等的正实数 满足 ，且 ，试求 的值。

20．(本小题满分12分)

行驶中的汽车，在刹车时由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离。在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 （米）与汽车车速 （千米/小时）满足下列关系式 （ 为常数， ），我们做过两次刹车试验，有关数据如图所示，其中 。

（1） 求 的值；

（2）要使刹车距离不超过12.6米，则行驶的最大速度应为多少？

21．(本小题满分14分)

如图，直三棱柱 中， ， ， 为棱 的中点．

22． (本小题满分14分)

已知向量 且 .

（1）求点Q 的轨迹C的方程；

（2）设曲线C与直线 相交于不同的两点M、N，又点A（0，－1），当 时，求实数 的取值范围。

23．(本小题满分14分)

已知函数 的图象关于原点对称，且当 时， 取得极值 。

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）若点 ， 是函数 图象上任意两点，且 。求证：过A点的切线不可能与过B点的切线垂直；

（Ⅲ）若不等的 ，且 ，求证： 。

06年数学高考模拟试题参考解答

一、选择题：每小题5分，满分60分。

1．D 根据 可得 {2，6，10}。

2．B 系数为 ，是等差数列的第20项。

3．C 由 得 ，故（C）适合。

4．D 直线OA与L的夹角为arctan ，可得|O1A1|=2，注重到方向相反，故选（D）。

5．C 根据双曲线的第二定义，先算出离心率即可。

6．B 学生阅读的总时间数为 ，故平均阅读时间为0.9小时。

7．C 三棱锥体积最大时，平面BAC与平面DAC垂直，直线BD与平面ABC所成的角的大小为45°。

8．C 通过观察导函数图象发现，0和2是极大值和极小值点，故得f(x)图象为（C）。

9．D 根据等可能性事件的概率公式 。

10． B ，则题设转化为a b=3，故结果是f(3)=2 。

11．C 直线AB的斜率k=a b= ，线段AB的中点坐标为 ，直线AB方程是 ，原点到直线距离 ，因此直线AB和圆的位置关系为相交。

12．A 过 作 ，则 为 的中点，设 为 的中点，连结 ，则当 最短时， 即为所求.设 ，则 （设 的边长为1）， 时， 最小，此时， 将 边截成的两段之比为1:1.故选A.

二、填空题：每小题4分，共16分。

13． 5 解法1：因为 ，所以 而如图， ，所以 的最大值为5；

解法2： 由已知 ① ②

①×7 ②×5得 即

解法3：待定系数法 令

解法4：分离参数法

由

14． 的坐标为 ， 的坐标为（2n,0）， 内（不包括边界）整点的个数为：0 1 … （n-2） (n-1) (n-2) … 1 0= 。

15．FB 要得到象为UI，原象字母对应数字x分别满足 被26除所得的余数为20和8，故x分别为6和2，因此密文UI译成明文为FB 。

16． 转化为至少21个点到右准线的距离成等差数列，而得结果。

17．（1）或者（2） 要使得在 边上存在点 使 ，也即是 ，只要是以AD为直径的圆与BC边相交或相切即可，故 ，（1）和（2）都适合，选其一。

18．－1 从第一图的开始位置变化到第二图时，向量 绕点 旋转了 （注重 绕点 是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量 绕点 旋转了 ，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量 绕点 旋转了 .则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量 绕点 共旋转了 ，即 ，因而 .

三、解答题

19．(本小题满分12分)

解： ………………(3分)

（1） ； ………………(5分)

（2）∵ ， ∴

∴ ………………(8分)

又 ，∴k=0,1,…,9,

∴ 。……(12分)

点评：本题涉及到了三角公式的变形和三角函数的图象的运用，以及与数列等知识的结合考查，虽然小，但很巧。

20．(本小题满分12分)

解：（1） ………………(3分)

………………(6分)

（2） ………………(8分)

∴行驶的最大速度应为 千米/小时。 ………………(12分)

点评：要很好地解答本题，需要有较强的阅读能力、分析解决问题的能力，以及熟练运用不等式等基础数学知识的能力。

解法一：

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.

设 ，

则 ，

于是 ．

………………(3分)

，

异面直线 与 所成的角为 ．………………(8分)

（Ⅱ） ，

. 则 ．…………(11分)

平面 ． 又 平面 ，

平面 平面 ． ………………(14分)

解法二：

（Ⅰ）连结 交 于点 ，取 中点 ，连结 ，则 ∥ ．

设 ，

则 ，

．

．

中， ， ，

直三棱柱中， ，则 ．

． ………………(6分)

（Ⅱ）直三棱柱中， ， 平面 ．

又 ， ， ，

平面 平面 ． ………………(14分)

点评：两种思路，从两个不同角度研究了直三棱柱背景下线面位置关系与数量关系。

22．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）

得

点的轨迹C的方程为 ………………(5分)

（Ⅱ）由 得

由于直线与椭圆有两个交点， ①………………(8分)

（1）当 ，设P为弦MN的中点，

从而

又|AM|=|AN|，

则 即 ②

把②代入①得 ，解得 ；由②得 ，解得 ，

故所求m的取值范围是（ ………………(11分)

（2）当 时，|AM|=|AN|，

故所求m的取值范围是（－1，1）. ………………(13分)

当 时，m的取值范围是 ，当 时，m的取值范围是（－1，1）.…(14分)

点评：本题将向量知识与解析几何糅合到一起，体现了“数”与“形”的交汇，反映出了近年来高考数学考查的方向和热点。

23．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）函数 的图象关于原点对称，

∴b=0， ………………(2分)

∴ ，

由 ，且 解得

∴ ， ………………(5分)

（Ⅱ）过A、B的切线斜率分别是

若 ，则 ∴

由于 （等号当且仅当两数至少一个为零时取得），

而 （等号当且仅当两数一个为1另一个为-1时取得），

故 不可能相等，

∴过A点的切线不能与过B点的切线垂直。………………(9分)

（Ⅲ）解法一：当 时，切线斜率 ，∴ ，

过 、 的割线的斜率的绝对值恰为 ，

故 。………………………………(14分)

解法二：

∵ ，∴ ，

又因为 ，

∴ 成立。………(14分)

点评：本题将导数知识与曲线的切线等几何因素以及不等式等相关知识有机地结合在一起，反映了高中数学的综合性和交汇性，考查了学生综合运用知识的能力