|
学年度第一学期期末教学目标检测
高三数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
参考公式：
① 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）= P（A）+ P（B）
② 如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）= P（A）·P（B）
③ 如果事件A在一次实验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率 （k）= (1－P)
④球的表面积公式S= （其中R表示球的半径）
⑤球的体积公式V= （其中R表示球的半径）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集U = R ，A = ，则 UA= （ ）
（A） （B）｛x | x > 0｝ （C）｛x | x≥0｝ （D） ≥0
（2）在等差数列｛ ｝中， =－5， ，则 等于 （ ）
（A）－4 （B）－5 （C）－7 （D）－8
（3）函数y = (x≠－1)的反函数是 （ ）
（A）y = –1 (x≠0) （B）y= +1 (x≠0)
（C）y = –x + 1 (x∈R) （D）y= – x–1 (x∈R)
（4）若| ， 且（ ）⊥ ，则 与 的夹角是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）已知m、n为两条不同的直线， 、 ，为 两个不同的平面，m⊥ ，n⊥ ，则下列命题中的假命题是 （ ）
（A）若 ∥n ，则 ∥ （B）若 ⊥ ,则m⊥n
（C）若 、 相交，则m 、n相交 （D）若m、n相交，则 、 相交
（6）箱子里有5 个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（ ）
（A）240个 （B）285个 （C）231个 （D）243个
（8）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）把y = sinx的图象向左平移 个单位，得到函数________________________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数_____________________的图象。
（10）已知直线 ：x – 2y + 3 = 0 ，那么直线 的方向向量 为_______________(注：只需写出一个正确答案即可)； 过点（1，1），并且 的方向向量 2与 1满足 1· = 0，则 的方程为___________________________________________。
（11）设实数x、y满足 ≤0 ，则z = x + y的最大值是____________________.
（12）若地球半径为R，地面上两点A、B的纬度均为北纬45°，又A、B两点的球面距离为 ，则A、B两点的经度差为___________________。
（13）定义“符号函数”f (x) = sgnx = x= 0，则不等式x + 2 > ( x – 2) 的解集是___________________________________________________________。
（14）某网络公司，1996年的市场占有率为A，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如图所示：
则该公司1998年的市场占有率为____________；如果把1996年作为第一年，那么第n年的市场占有率为________________________________
三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分13分）
已知：tan = 2，求：
（Ⅰ）tan 的值；
（Ⅱ）sin2 的值．
（16）（本小题满分13分）
某电路中有红灯、绿灯各一只，当开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，并且每次有且仅有一只灯亮，设第一次出现红灯和绿灯的概率相等，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是 ，前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是 ．求：
（Ⅰ）第二次出现红灯的概率；
（Ⅱ）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率．
（17）（本小题满分14分）
已知在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG = ．
（Ⅰ）求证：EF⊥B1C；
（Ⅱ）求EF与C1G所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角F—EG—C1的大小（用反三角函数表示）．
（18）（本小题满分13分）
函数f (x)的定义域为D : {x | x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f (x1· x2) = f (x1) + f (x2) ．
（Ⅰ）求f (1)的值；
（Ⅱ）判断f (x)的奇偶性并证明；
（Ⅲ）如果f (4) = 1，f (3x + 1) + f (2x – 6)≤3，且f (x)在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．
（19）（本小题满分14分）
已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d > 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}对任意正整数n均有 成立，其中m为不等于零的常数，求数列{cn}的前n项和Sn．
（20）（本小题满分13分）
已知常数a > 0，向量 ， ，经过定点A (0，– a )以 + 为方向向量的直线与经过定点B (0，a)以 + 2 为方向向量的直线相交于点P，其中 ∈R．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若 ，过E (0，1)的直线l交曲线C于M、N两点，求 的取值范围．
参考答案
一、选择题
（1）C （2）D （3）A （4）B （5）C （6）B （7）A （8）D
二、填空题
（9）y = sin ， ； （10）（2，1）或 等，2x + y – 3 = 0；
（11）5； （12）90°； （13） ； （14） ．
注：（9）、（10）、（14）小题第一个空2分，第二个空3分．
三、解答题
（15）解：（Ⅰ） = = 2，∴tan ． （5分）
（Ⅱ）解法一：
sin2 +sin2 + cos2 = sin2 + sin2 + cos2 – sin2
= 2sin cos + cos2 （8分）
= （11分）
= ． （13分）
（Ⅱ）解法二：
sin2 + sin2 + cos2 = sin2 + sin2 + cos2 – sin2
= 2sin cos + cos2 （1） （8分）
∵tan = ，∴ 为第一象限或第三象限角．
当 为第一象限角时，sin = ，cos = ，代入（1）得
2sin cos + cos2 = ； （10分）
当 为第三象限角时，sin = ，cos = ，代入（1）得
2sin cos + cos2 = ． （12分）
综上所述：sin2 + sin2 + cos2 = ． （13分）
（16）解：由于第一次出现红灯和绿灯的概率相等，由等可能事件的概率知，第一次出现红灯和绿灯的概率均为 ，由对立事件的概率可知，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是 ，则接着出现绿灯的概率是 ；前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是 ，则接着出现绿灯的概率是 ． （2分）
（Ⅰ） ； （7分）
（Ⅱ） ． （13分）
（17）解：解法一：
（Ⅰ）连接D1B、BC1，
∵E、F是D1D、BD的中点，
∴EF∥D1B，且EF = ．
又∵D1C1⊥平面BC1，
∴D1B在平面BC1上的射影为BC1．
∵BC1⊥B1C，由三垂线定理知B1C⊥D1B．
∴EF⊥B1C． （4分）
（Ⅱ）延长CD至点P，使DP = CG，连接D1P、PB．
∵D1C1 PG．
∴四边形D1C1GP为平行四边形．
∴D1P C1G．
又由（Ⅰ）知，EF∥D1B，
∴∠PD1B为异面直线EF与C1G所成的角．
设正方体的棱长为4，则D1P2 = 42 + 12 = 17，
D1B2 = 42 + 42 + 42 = 48，
PB2 = 42 + 52 = 41，
∴cos∠PD1B = ． （8分）
（Ⅱ）取DC的中点M，连接FM，则FM⊥DC．过
M做MN⊥EG于N点，连接FN．
由三垂线定理可证FN⊥EG．
∴∠MNF的邻补角为二面角F—EG—C1的平
面角．设正方体的棱长为4，则FM = 2，
在Rt△EDG中，△EDG ~ △MNG，
∴ ．
在Rt△FMN中，∠MNF = 90°，
∴tan∠MNF = ．
∴∠MNF = arctan ．
∴二面角F—EG—C1的大小为 ． （14分）
解法二：
如图建立空间直角坐标系O—xyz，
设正方体的棱长为4，则E (0，0，2)，F (2，2，0)，
C (0，4，0)，B (4，4，0)，C1(0，4，4)，B1(4，4，4)，G (0，3，0) ． （2分）
（Ⅰ） ，
∴ ．
∴ ． ∴EF⊥B1C． （6分）
（Ⅱ） ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ． （9分）
（Ⅱ）（*有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分）
平面D1DCC1的法向量为 ，设平面EFG的法向量为 ，
∴ 即 令x = 1，则y = 2，z = 3． ∴ = (1，2，3) ．
∴cos < ， ．
∴二面角F—EG—C1的大小为 ． （14分）
（18）（Ⅰ）解：令x1 = x2 = 1，有f (1 × 1) = f (1) + f (1)，解得f (1) = 0． （2分）
（Ⅱ）证明：令x1 = x2 = – 1，有f [(–1)× (–1)] = f (–1) + f (–1)，解得f (–1) = 0．
令x1 = –1，x2 = x有f (– x) = f (–1) + f (x)，∴f (– x) = f (x) ．
∴f (x)为偶函数． （6分）
（Ⅲ）f (4 × 4) = f (4) + f (4) = 2，f (16 × 4) = f (16) + f (4) = 3．
∴f (3x + 1) + f (2x – 6)≤3即f [(3x + 1)(2x – 6)]≤f (64) （1）
∵f (x)在(0，+∞)上是增函数，
∴（1）等价于不等式组
∴3 < x≤5或 ≤x < 或 < x < 3．
∴x的取值范围为 ． （13分）
（19）解：（Ⅰ）由题意得：(a1 + d)(a1 + 13d) = (a1 + 4d)2．整理得2a1d = d2．
∵a1 = 1，解得d = 2（d = 0不合题意舍去），∴an = 2n – 1(n = 1，2，3，…)
由b2 = a2 = 3，b3 = a5 = 9，易求bn = 3n – 1 (n = 1，2，3，…) ． （5分）
（Ⅱ）当n = 1时，c1 = 6；
当n≥2时， ，
∴cn = (4n + 1)mn – 1bn = (4n + 1)(3m)n – 1．
∴cn = （8分）
当3m = 1即m = 时，
Sn = 6 + 9 + 13 +…+(4n + 1) = 6 +
= 6 +(n – 1)(2n + 5) = 2n2 + 3n + 1． （10分）
当3m≠1即m≠ 时，
Sn = c1 + c2 + … + cn都
Sn = 6 + 9 · (3m) + 13 · (3m)2 + … + (4n – 3)(3m)n – 2 + (4n + 1)(3m)n – 1 （1）
3mSn = 6 · 3m + 9 · (3m)2 + 13 · (3m)3 +…+ (4n – 3)(3m)n – 1 + (4n + 1)(3m)n（2）
（1）–（2）得
（1 – 3m）Sn = 6 + 3 · 3m + 4 · (3m)2 + 4 · (3m)3 +…+ 4· (3m)n – 1
– (4n + 1)(3m)n
= 6 + 9m + 4[(3m)2 + (3m)3 +…+(3m)n – 1] – (4n + 1)(3m)n
= 6 + 9m +
∴ ． （13分）
∴ （14分）
（20）解：（Ⅰ）设P点的坐标为(x，y)，则 ， ，
又 ，故 ， ．
由题知向量 与向量 平行，故 (y + a) = ax．
又向量 与向量 平行，故y – a = 2 ．
两方程联立消去参数 ，得点P (x，y)的轨迹方程是
(y + a)(y – a) = 2a2x2，即y2 – a2 = 2a2x2． （6分）
（Ⅱ）∵ ，故点P的轨迹方程为2y2 – 2x2 = 1，
此时点E (0，1)为双曲线的焦点．
①若直线l的斜率不存在，其方程为x = 0，l与双曲线交于 、
，此时 ． （8分）
②若直线l的斜率存在，设其方程为y = kx + 1，代入2y2 – 2x2 = 1化简得
2(k2 – 1) x2 + 4kx + 1 = 0．
∴直线l与双曲线交于两点，
∴△= (4k)2 – 8 (k2 – 1) > 0且k2 – 1≠0．解得k≠±1．
设两交点为M (x1，y1)、N (x2，y2)，
则x1 + x2 = ，x1x2 = ． （10分）
此时
= x1x2 + k2x1x2 = (k2 + 1) x1x2 = ．
当– 1 < k < 1时，k2 – 1 < 0，故 ≤ ；
当k > 1或k < – 1时，k2 – 1 > 0，故 ．
综上所述， 的取值范围是 ∪ ． （13分）
|
