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数学高考模拟试题(2)
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
（1）与向量 
平行的单位向量为（ ）
A． 
B． 
C． 
或
D． 
（2）函数 
的定义域为（ ）
A.． 
B． 
C． 
D． 
（3）某地区高中分三类：A类校共有学生4000人，B类校共有学生2000人，C类校共有学生3000人。现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类校抽取的试卷份数应为 （ ）
A．450份 B．400份 C．300份 D．200份
（4）已知直线m、n和平面 
，则m∥n的一个必要条件是（ ）
A．m∥
，n∥
Ｂ．m⊥
，n⊥
C．m∥
，n 
D．m、n与
成等角
（5）若正数 
满足 
，则 
的取值范围是（ ）
A． 
Ｂ． 
C． 
D． 
（6）设双曲线 
的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
（7）若函数y=f(x) (xÎR)满足f(x 2)=f(x)，且xÎ(－1,1]时，f(x)=|x|．则函数y=f(x)的图象与函数y=log4|x|的图象的交点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
（8）已知点 
是抛物线 
上的动点，点
在 
轴上的射影是 
，点 
的坐标是 
，则 
的最小值是（ ）
A． 
B．4 
C． 
D．5
（9）已知函数 
的图象与函数 
的图象关于
直线 
对称，则 
的值为 （ ）
A．1 B． 
C．2 D． 
（10）能够使得圆 
上恰有两个点到直线 
距离等于1的 
的一个值为（ ）
A．2 Ｂ． 
C．3 D． 
（11）关于x的不等式ax-b>0的解集是(1, ∞)，则关于x的不等式 
的解集是（ ）
A．(-∞,-1)∪(2, ∞) B．(-1,2) C．(1,2) D．(-∞,1)∪(2, ∞)
（12）由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）
A.180 B.196 C.210 D.224
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
 （13）如图，已知点 
是棱长为2的正方体 
的棱 
的中点，则点
到平面 
的距离等于_____________．
（14）若 
，则数列 
的前 
项和 
_____________．
（15）已知 
则 
．
（16）有两个向量 
， 
，今有动点 
，从 
开始沿着与向量 
相同的方向作匀速直线运动，速度为 
；另一动点 
，从 
开始沿着与向量 
相同的方向作匀速直线运动，速度为 
．设
、
在时刻 
秒时分别在 
、 
处，则当 
时， 
秒．
三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．
（1）求该盒产品被检验合格的概率；
（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．
(18)(本小题满分12分)
已知偶函数f(x)=cosqsinx－sin(x－q) (tanq－2)sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值及此时x的集合．
(19) (本小题满分12分)
如图，直三棱柱 
中， 
， 
， 
为棱 
的中点．
（Ⅰ）求异面直线 
与 
所成的角；
（Ⅱ）求证：平面 
平面 
．
(20) (本小题满分12分)
已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x y=0平行．
（I）求f(x)的解析式；
（II）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间。
(21) (本小题满分12分)
等差数列 
中， 
，公差 
是自然数，等比数列 
中， 
．
（1）试找出一个
的值，使
的所有项都是
中的项；再找出一个
的值，使
的项不都是
中的项（不必证实）；
（Ⅱ）判定 
时，是否
所有的项都是
中的项， 并证实你的结论；
（Ⅲ）探索当且仅当
取怎样的自然数时，
的所有项都是
中的项，并说明理由．
(22)(本小题满分14分)
如图，已知过点 
的直线 
与椭圆 
交于不同的两点
、 
，点
是  弦 
的中点．
（Ⅰ）若 
，求点
的轨迹方程；
（Ⅱ）求 
的取值范围．
05年数学高考模拟试题(2)参考解答及点评
一、选择题：每小题5分，满分60分．(注重：选择与填空解析及点评见最后)
(1)C (2)D (3)B (4)D (5)B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C
二、填空题：每小题4分，满分16分．
(13) 
； (14) 
； (15) 
； (16)2．
三、解答题
（17）(本小题满分12分)
解析: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为 
种，其中次品数不超过1件有 
种，被检验认为是合格的概率为 
．
(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为 
， 故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为
．
答：该盒产品被检验认为是合格的概率为
；两次检验得出的结果不一致的概率为 
．
点评：本题考查了等可能性事件与独立重复事件的概率。
（18）(本小题满分12分)
解析：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq) (tanq－2)sinx－sinq
=sinqcosx (tanq－2)sinx－sinq．
因为f(x)是偶函数，所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x)，
即sinqcos(－x) (tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx (tanq－2)sinx－sinq,
即(tanq－2)sinx=0，所以tanq=2．
由 
解得 
或 
此时，f(x)=sinq(cosx－1).
当sinq= 
时，f(x)=
(cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；
当sinq= 
时，f(x)=
(cosx－1)最小值为0，
 当cosx=－1时，f(x)有最大值为 
,自变量x的集合为{x|x=2kp p,kÎZ}．
点评：本题将函数性质应用于三角函数中。
（19）(本小题满分12分)
解法一：
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.
设 
，
则 
，
于是 
．
，
异面直线
与
所成的角为 
．
（Ⅱ） 
，
. 则 
．
平面 
． 又 
平面 
，
平面
平面
．
解法二：
（Ⅰ）连结 
交
于点 
，取 
中点 
，连结 
，则
∥
．
 ∴直线 
与 
所成的角就是异面直线
与
所成的角．
设
，
则 
，
．
．
中， 
， 
，
直三棱柱中，
，则 
．
．
，
异面直线
与
所成的角为
．
（Ⅱ）直三棱柱中，
， 
平面 
．
则 
．
又 
， 
， 
，
则 
， 
于是 
．
平面
． 又
平面 
，
平面
平面
．
点评：两种思路，从两个不同角度研究了直三棱柱背景下线面位置关系与数量关系。
（20）(本小题满分12分)
解析：（I）设f(x)=ax2 bx c，则f ¢(x)=2ax b．
由题设可得： 
即 
解得 
所以f(x)=x2-2x-3．
（II）g(x)=f(x2)=x4－2x2－3，g ¢(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x 1)．
列表： |
x |
(-∞,-1) |
-1 |
(-1,0) |
0 |
(0,1) |
1 |
(1, ∞) | |
f¢(x) |
－ |
0 |
|
0 |
－ |
0 |
| |
f(x) |
↘ |
|
↗ |
|
↘ |
|
↗ | | 
