数学高考模拟试题(2)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

（1）与向量 平行的单位向量为（ ）

A． B．

C． 或 D．

（2）函数 的定义域为（ ）

A.． B．

C． D．

（3）某地区高中分三类：A类校共有学生4000人，B类校共有学生2000人，C类校共有学生3000人。现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类校抽取的试卷份数应为 （ ）

A．450份 B．400份 C．300份 D．200份

（4）已知直线m、n和平面 ，则m∥n的一个必要条件是（ ）

A．m∥ ，n∥ Ｂ．m⊥ ，n⊥

C．m∥ ，n D．m、n与 成等角

（5）若正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）

A． 　　 Ｂ． 　　 C． 　　　 D．

（6）设双曲线 的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

（7）若函数y=f(x) (xÎR)满足f(x 2)=f(x)，且xÎ(－1,1]时，f(x)=|x|．则函数y=f(x)的图象与函数y=log4|x|的图象的交点的个数为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

（8）已知点 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是 ，点 的坐标是 ，则 的最小值是（ ）

A． B．4 C． D．5

（9）已知函数 的图象与函数 的图象关于

直线 对称，则 的值为 （ ）

A．1 B． C．2 D．

（10）能够使得圆 上恰有两个点到直线 距离等于1的 的一个值为（ ）

A．2 Ｂ． C．3 D．

（11）关于x的不等式ax-b>0的解集是(1, ∞)，则关于x的不等式 的解集是（ ）

A．(-∞,-1)∪(2, ∞) B．(-1,2) C．(1,2) D．(-∞,1)∪(2, ∞)

（12）由0，1，2，…，9这十个数字组成的、无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ）

A.180 B.196 C.210 D.224

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

（13）如图，已知点 是棱长为2的正方体 的棱 的中点，则点 到平面 的距离等于_____________．

（14）若 ，则数列 的前 项和 _____________．

（15）已知 则 ．

（16）有两个向量 ， ，今有动点 ，从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动，速度为 ；另一动点 ，从 开始沿着与向量 相同的方向作匀速直线运动，速度为 ．设 、 在时刻 秒时分别在 、 处，则当 时， 秒．

三、解答题：本大题6小题，共74分．解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．

(17)(本小题满分12分)

某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒A产品中有2件次品．

（1）求该盒产品被检验合格的概率；

（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．

(18)(本小题满分12分)

已知偶函数f(x)=cosqsinx－sin(x－q) (tanq－2)sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值及此时x的集合．

(19) (本小题满分12分)

如图，直三棱柱 中， ， ， 为棱 的中点．

A

C

B

B1

D

C1

（Ⅰ）求异面直线 与 所成的角；

A1

（Ⅱ）求证：平面 平面 ．

(20) (本小题满分12分)

已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x y=0平行．

（I）求f(x)的解析式；

（II）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间。

(21) (本小题满分12分)

等差数列 中， ，公差 是自然数，等比数列 中， ．

（1）试找出一个 的值，使 的所有项都是 中的项；再找出一个 的值，使 的项不都是 中的项（不必证实）；

（Ⅱ）判定 时，是否 所有的项都是 中的项， 并证实你的结论；

（Ⅲ）探索当且仅当 取怎样的自然数时， 的所有项都是 中的项，并说明理由．

(22)(本小题满分14分)

如图，已知过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，点 是 弦 的中点．

（Ⅰ）若 ，求点 的轨迹方程；

（Ⅱ）求 的取值范围．

05年数学高考模拟试题(2)参考解答及点评

一、选择题：每小题5分，满分60分．(注重：选择与填空解析及点评见最后)

(1)C (2)D (3)B (4)D (5)B (6) B (7)C (8)C (9)D (10)C (11)A (12)C

二、填空题：每小题4分，满分16分．

(13) ； (14) ； (15) ； (16)2．

三、解答题

（17）(本小题满分12分)

解析: (1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为 种，其中次品数不超过1件有 种，被检验认为是合格的概率为 ．

(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为 ， 故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为

．

答：该盒产品被检验认为是合格的概率为 ；两次检验得出的结果不一致的概率为 ．

点评：本题考查了等可能性事件与独立重复事件的概率。

（18）(本小题满分12分)

解析：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq) (tanq－2)sinx－sinq

=sinqcosx (tanq－2)sinx－sinq．

因为f(x)是偶函数，所以对任意xÎR，都有f(－x)=f(x)，

即sinqcos(－x) (tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx (tanq－2)sinx－sinq,

即(tanq－2)sinx=0，所以tanq=2．

由 解得 或

此时，f(x)=sinq(cosx－1).

当sinq= 时，f(x)= (cosx－1)最大值为0，不合题意最小值为0，舍去；

当sinq= 时，f(x)= (cosx－1)最小值为0，

A

z

x

y

D

B1

C1

A1

C

B

当cosx=－1时，f(x)有最大值为 ,自变量x的集合为{x|x=2kp p,kÎZ}．

点评：本题将函数性质应用于三角函数中。

（19）(本小题满分12分)

解法一：

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.

设 ，

则 ，

于是 ．

，

异面直线 与 所成的角为 ．

（Ⅱ） ，

. 则 ．

平面 ． 又 平面 ，

平面 平面 ．

解法二：

（Ⅰ）连结 交 于点 ，取 中点 ，连结 ，则 ∥ ．

A

C

B

A1

C1

B1

D

F

E

∴直线 与 所成的角就是异面直线 与 所成的角．

设 ，

则 ，

．

．

中， ， ，

直三棱柱中， ，则 ．

．

，

异面直线 与 所成的角为 ．

（Ⅱ）直三棱柱中， ， 平面 ．

则 ．

又 ， ， ，

则 ， 于是 ．

平面 ． 又 平面 ，

平面 平面 ．

点评：两种思路，从两个不同角度研究了直三棱柱背景下线面位置关系与数量关系。

（20）(本小题满分12分)

解析：（I）设f(x)=ax2 bx c，则f ¢(x)=2ax b．

由题设可得： 即

解得 所以f(x)=x2-2x-3．

（II）g(x)=f(x2)=x4－2x2－3，g ¢(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x 1)．

列表：

x

(-∞,-1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1, ∞)

f¢(x)

－

0

0

－

0

f(x)

↘

↗

↘

↗

由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1, ∞)．

点评：利用导数研究函数性质是导数重要应用之一。

（21）(本小题满分12分)

解析：（Ⅰ） 时， 的项都是 中的项；（任一非负偶数均可）

时， 的项不都是 中的项．（任一正奇数均可）

（Ⅱ） 时，

的项一定都是 中的项．

（Ⅲ）当且仅当 取 （即非负偶数）时， 的项都是 中的项．理由是：

①当 时，

时， ，

其中 是 的非负整数倍，设为 （ ），

只要取 即（ 为正整数）即可得 ，即 的项都是 中的项；

②当 时， 不是整数，也不可能是 的项．

点评：将数列与二项式定理知识综合考查，很有新意。

（22）(本小题满分14分)

解析：（Ⅰ）①若直线 ∥ 轴，则点 为 ；

②设直线 ，并设点 的坐标分别是 ，

由 消去 ，得 ， ①

由直线 与椭圆有两个不同的交点，可得 ，即 ，所以 ．

由 及方程①，得 ，

，

即

由于 （否则，直线 与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得， ，代入到方程 ，得 ，整理，得 （ ．

综上所述，点 的轨迹方程为 （ ．

（Ⅱ）①当 ∥ 轴时， 分别是椭圆长轴的两个端点，则点 在原点 处，所以， ，所以， ；

②由方程①，得

所以， ，

，

所以 ．

因为 ，所以 ，所以 ，所以 ．

综上所述， ．

点评：用向量语言表述了解析几何问题，研究了直线与圆锥曲线的关系。

选择题和填空题补充解析及点评

一、选择题：(1)C， (2)D ，(3)B ，(4)D ，(5)B ，(6) B ，(7)C ，(8)C ，(9)D ，(10)C ，(11)A， (12)C 。

二、填空题：(13) ； (14) ； (15) ； (16)2 。

解析及点评：

1解析：设出单位向量的坐标，通过解方程组解得答案为（C）。

点评：注重选项（C）与（D）的区别。

2解析：根据函数本身的限制，列出不等式组，解得结果为（D）。

点评：被开方数应为非负数，对数的真数要为正数。

3解析： 因为A类学校占三类学校人数的 ，故抽取A类试卷份数为 ，选（B）。

点评：本题是对新增内容的考查，要求对基本知识要熟练把握。

4解析：m∥n 能推得D，但D不能推得m∥n，故答案为（D）。

点评：了解线面位置关系的特征。

5解析：令a b=t，则 ，易得答案（B）。

点评：本题解题过程中用到了换元法。

6解析：由 得离心率是 ，选（B）。

点评：由条件构造出关于离心率e的方程解题。

7解析：f(x)既是偶函数，又是周期函数，利用图象可得交点个数为6，选（C）。

点评：本题是对函数综合性质的考查。

8解析：将 转化为动点P到定点A的距离与到准线距离之和来考虑，最小值为 ，选（C）。

点评：将数与形有机结合，可寻求到解题捷径。

9解析：利用原函数和反函数图象的对称性，得 = -2，选（D）。

点评：原函数和反函数图象关于直线y=x对称。

10解析：c的范围满足 ，其一个值是3，选（C）。

点评：利用圆心到直线距离，可得心应手地解题。

11解析：由条件，关于x的不等式ax-b>0的解集是(1, ∞)，得a>0，且a=b，代入分式不等式解得(-∞,-1)∪(2, ∞)，选（A）。

点评：函数、方程与不等式之间有着天然的联系。

12解析：个位数字与百位数字之差的绝对值等于8，有0、8与1、9两类，符合条件的四位数有210个，选（C）。

点评：解排列组合问题，应“先分类，再分步”。

13解析：用等积法求得点到面的距离是 。

点评：求点到平面距离，可直接作垂线段，用等积法也是行之有效的。

14解析： ， ，用裂项法求得和为 。

点评：需要把握等差与等比两个基本数列求和公式，同时也要把握“裂项法”等求和法。

15解析： 所以sin ， = 。

点评：倍角关系是相对的，要熟悉其中的辩证关系。

16解析：经过t秒钟后，P、Q的坐标分别为P（-1 t,2 t），Q（-2 3t,-1 2t），根据条件 ，利用它们的数量积为0，解得t=2 。

点评：本题假如从物理的角度来理解会更流畅，反映了多学科的交汇作用。