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江苏省启东中学2009届高三上学期期末考试数学试题
（本试卷满分160分，考试时间120分钟）
一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）
1．复数z =i2(1+i)的虚部为___ _▲_ __．
2．已知 ，则 ＝_____▲_____．
3．若曲w ww.k s5u.c om线 在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为 ▲ ．
4．如图所示，墙上挂有一边长为 的正方形木板，它的四个角的空白部分
都是以正方形的顶点为圆心，半径为 的圆弧，某人向此板投镖，假设
每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴
影部分的概率是__ ▲ ___．
5．设 ，若 ，则实数 的取值范围是 ▲ ．
S← 1
For I from 1 to 9 step 2
S←S + I
End for Print S
| 6．若椭w ww.k s5u.c om圆 的左、右焦点分别为
，线段 被抛物线 的焦点 分
成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ▲ ．
7．左面伪代码的输出结果为 ▲ ．
8．公差w ww.k s5u.c om为 的等差数列 中, 是 的前 项和,
则数列 也成等差数列，且公差为 ，类比上述结论，相应地在公比为 的等比数列 中，若 是数列 的前 项积，则有 ▲ ．
9．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 ，则方程 有实根的概率
为 ▲ ．
10．将正w ww.k s5u.c om奇数排列如下表其中第 行第 个数表示 ，例如 ，若 ，
则 ▲ ．
11．已知点O为 的外心，且 ,则 ▲ ．
12．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ▲ ．
13．对于函数 ，在使 ≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数 的“下确界”，则函数 的下确界为 ▲ ．
14．三位同w ww.k s5u.c om学合作学习，对问题“已知不等式 对于 恒成立,求 的取值范围”提出了各自的解题思路.
甲说：“可视 为变量， 为常量来分析”.
乙说：“不等式两边同除以 2，再作分析”.
丙说：“把字母 单独放在一边，再作分析”.
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分）
15．（本题满分14分，第1问7分，第2问7分）
已知向量a=(sin( +x), cosx)，b =(sinx,cosx), f(x)=a·b．
⑴求f(x)的最小正周期和单调增区间；
⑵如果三角形ABC中，满足f(A)= ，求角A的值．
16．（本题满分14分，第1问4分，第2问5分，第3问5分）
如下的三个图中，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左视图（单位：cm）
（1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结 ，证明： 面 ．
17．（本题满分15分，第1问7分，第2问8分）
已知函数 ，常数 ．
（1）设 ，证明：函数 在 上单调递增；
（2）设 且 的定义域和值域都是 ，求常数 的取值范围．
18．（本题满分15分，第1问5分，第2问5分，第3问5分）
已知直线l的方程为 ，且直线l与x轴交于点M，圆 与x轴交于 两点．
（1）过M点的直线 交圆于 两点，且圆孤 恰为圆周的 ，求直线 的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点作直线 与圆相切于点N,设（2）中椭圆的两个焦点分别为F1,F2,求三角形 面积．
19．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）
已知数列 中， 且点 在直线 上.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若函数 求函数 的最小值；
（3）设 表示数列 的前项和。试问：是否存在关于 的整式 ，使得
对于一切不小于2的自然数 恒成立？
若存在，写出 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
20．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）
已知函数 ,过点P(1,0)作曲线 的两条切线PM,PN,切点分别为M,N．
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）设|MN|= ，试求函数 的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数 ，在区间 内，总存在m＋1个数 使得不等式 成立，求m的最大值．
江苏省启东中学2009届高三上学期期末考试
数 学 （理科加试题）
（加试题每小题10分，共40分，考试时间30分钟）
1．（选修4—2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为 ，属于特征值3的一个特征向量为 ，求矩阵A．
2．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线 相交于点M，在OM上取一点P，使 ．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设R为 上任意一点，试求RP的最小值．
3．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设 为成活沙柳的株数，数学期望 ，标准差 为 ．
（1）求n,p的值并写出 的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
4．设 ， ，
（1）当 时， ，求 ；
（2）当 时， 展开式中 的系数是20，求 的值；
（3） 展开式中 的系数是19，当 ， 变化时，求 系数的最小值．
江苏省启东中学2009届高三上学期期末考试
数 学 答 案
一、填空题：
1． -1 2． 3．（1，0） 4． 5． 6． 7．26
8． 9． 10．60 11．6 12．
13．0.5 14．
二、解答题：
15．解：⑴f(x)= sinxcosx+ + cos2x = sin(2x+ )+ ---------------------3分
T=π，2 kπ- ≤2x+ ≤2 kπ+ ，k∈Z,
最小正周期为π，----------------------------------------------------5分
单调增区间[kπ- ,kπ+ ],k∈Z.-----------------------------------------------------7分
⑵由sin(2A+ )=0, <2A+ < ,-----------------------------------------------------10分
∴2A+ =π或2π，∴A= 或 ------------------------------------14分
16． 解：（1）如图
------------4分
（2）所求多面体体积 ．--------9分
（3）证明：在长方体 中，
连结 ，则 ．
因为 分别为 ， 中点，所以 --11分
从而 ．又 平面 ，所以 面 ． --------------14分
17．解:（1）任取 ， ，且 ，--------------------------2分
，
因为 ， ， ，所以 ，即 ，----5分
故 在 上单调递增．或求导方法．--------------------------7分
（2）因为 在 上单调递增，
的定义域、值域都是 ，---------------------10分
即 是方程 的两个不等的正根
有两个不等的正根．-------------------------13分
所以 ， ---------------------15分
18．解：（1） 为圆周的 点到直线 的距离为 -------2分
设 的方程为
的方程为 ----------------------------------------------------------------5分
（2）设椭圆方程为 ，半焦距为c，则
椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则 或 ------------------------------6分
当 时， 所求椭圆方程为 ；-------------8分
当 时，
所求椭圆方程为 -------------------------------------------------------------10分
（3）设切点为N，则由题意得，在 中， ，则 ，
N点的坐标为 ，------------------- 11分
若椭圆为 其焦点F1,F2
分别为点A,B故 ，-----------------------------------13分
若椭圆为 ，其焦点为 ,
此时 -------------------------------------------15分
19．解：（1）由点P 在直线 上，
即 ，------------------------------------------------------------------------2分
且 ，数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列
， 同样满足，所以 ---------------4分
（2）
---------------------6分
所以 是单调递增，故 的最小值是 -----------------------10分
（3） ，可得 ， -------12分
，
……
，n≥2------------------14分
故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立----16分
20． 解：（1）当 --------2分
.则函数 有单调递增区间为 -- 4分
（2）设M、N两点的横坐标分别为 、 ，
同理，由切线PN也过点（1，0），得 （2）---------------6分
由（1）、（2），可得 的两根，
------------------------------------------------------8分
把（*）式代入，得
因此，函数 ----------------10分
（3）易知 上为增函数，
------------12分
由于m为正整数， . --------------------------------------------------14 分
又当
因此，m的最大值为6. ----------------------------------------------16分
江苏省启东中学2009届高三上学期期末考试
数 学 加 试 题 答 案
1．解：设A= ，由题知 = ， =3 ------4分
即 ， ---------------------------------------------------------------------6分
解之得： -----------------------------------------------------------------8分
∴A= --------------------------------------------------------------------------10分
2．解：（1）设 ， ， ---------------------------5分
（2） ------------------------------------------------------------------------10分
3.解：(1)由 得 ,------------3分
从而 ， 的分布列为
-------5分
(2)记”需要补种沙柳”为事件A,则 得 --10分
4．解：（1）赋值法：分别令 ， ，得 -----2分
（2） ， -------------------------------------------------6分
（3） ， 的系数为：
所以，当 或 时， 展开式中 的系数最小，为81．----10分
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