数学 (理科) 试题

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

假如事件A、B互斥，那么P(A B)=P(A) P(B)．

假如事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．

假如事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)= ．

球的表面积公式 S=4πR2，其中R表示球的半径．

球的体积公式 V= eq \f(3,4) πR3，其中R表示球的半径．

第I卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内．

1．复数i(1一i)等于( )

A．1 i B．1一i C．一1 i D．一1一i

2．设全集为R，A={x|—1＜x＜1}，B={ x| x≥0}，则CR(A∪B)等于( )

A．{x|0≤x＜1} B．{x| x≥0} C．{x|x≤-1} D．{x|x＞-1}

3．已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且Eξ = 6.3，则a的值为( )

A．5 B．6 C．7 D．8

4．已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB=3，∠AOB=120°，则球的体积为( )

A． B． C．36π D．

5．已知条件p: k= ，条件q：直线y=kx 2与圆x2 y2=1相切，则p是q的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知数列 的前n项和为Sn，且Sn是an。与1的等差中项，则an等于( )

A．1 B．-1 C．(-1)n D．(-1)n-1

7．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )

A．若m∥α，n α，则m∥n B．若m∥α，m β，α∩β=n，则m∥n

C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，则n⊥α

8．函数y=Asin(ωx φ)的周期为2π，其图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成( )

A． =sin(2—2x)

B． =sin(2x一2)

C． =sin(x一1)

D． =sin(1一x)

9．已知函数y=f(x 1)的图象关于点(-1，0)成中心对称，则函数y=f(x)一定是( )

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

lO．已知 则方程f(x)=2的实数根的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

11．某学校开设10门选修课程，其中3门是技能类课程，2门是理论类课程．学校规定每位学生应选修4门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修1门，则不同的选修方法种数是( )

A．50 B．100 C．11O D．115

12．若函数f(x)为奇函数，且在(0， ∞)内是增函数，又f(2)=0，则 ＜0的解集为( )

A．(-2,0)∪(0,2) B．(-∞，-2)∪(0,2)

C．(-∞，-2)∪(2， ∞) D．(-2,0)∪(2， ∞)

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上．

13．二项式( )6的展开式中，常数项为_____________.

14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____．

15．已知向量a=(1，1)，b=(sinx ，-cosx)，x∈(0，π)，若a∥b ，则x的值是_______．

16．阅读下面材料，并回答问题：

设D和D1是两个平面区域，且D1 D．在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)= .

已知有序实数对(a，b)满足a∈[O，3]，b∈[0，2]，则关于x的一元二次方程x2 2ax b2=0有实数根的概率是________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。证实过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=cos2x sinxcosx(x∈R)

(I)求f( )的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．

18．(本小题满分12分)

在数列 中，a1=1，an 1= (c为常数，n∈N*)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列．

(I)求证：数列 是等差数列；

(Ⅱ)求c的值；

(Ⅲ)设bn=anan 1，数列 的前n项和为Sn，求 ．

19．(本小题满分12分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E、F分别为AA1，和CC1的中点．

(I)求证：EF∥平面ACD，；

(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角；

(Ⅲ)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分12分)

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．

(I)写出υ关于ω的函数关系式；

(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；

(Ⅲ)试用你所学的数学知识证实：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．

(注：价值损失的百分率= ×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计)

21．(本小题满分12分)

已知定点A(a，O)( a >0)，B为x轴负半轴上的动点．以AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上．

(I)求动点D的轨迹E的方程；

(Ⅱ)过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R (- a，0)，问当l绕点A转动时，∠PRQ是否可以为钝角?请给出结论，并加以证实．

22．(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ln(x a)-x2-x在x = 0处取得极值．

(I)求实数a的值；

(Ⅱ)若关于x的方程，f(x)= 在区间[O，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；

(Ⅲ)证实：对任意的正整数n，不等式ln 都成立．

数学(理科)试题参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．D 9．A 10．D 11．D 12．A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分。满分16分．

13．15；14． ；15． ；16．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．

17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分．

解： ……………………………………………………(4分)

………………………………………(6分)

…………………………………………………(8分)

…………………………………………(10分)

即 时，f(x)单调递增.

∴f(x)单调递增区间为[ ， ] ……………………(12分)

18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识考查化归与转化的思想方

法；考查推理与运算能力．满分12分．

解法一：(I) ，且a1=1，显然an≠0

，又c为常数，

∴数列 是等差数列. ………………………………………………(4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ……………………………(5分)

又∵a1，a2，a5成等比数列， ，解得c=0或c=2. (7分)

当c=0时，an 1=an，不合题意，舍去.

∴c=2. ……………………………………………………………………(8分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知c=2，∴ …………………………………………(9分)

…………(10分)

……………………………………………………(11分)

.…………………………………………………………(12分)

解法二：(Ⅰ) ，且a1=1，显然an≠0

，……………………………………………(2分)

，又c为常数，

∴数列 是等差数列……………………………………………(4分)

(Ⅱ)、(Ⅲ)解法同解法一.

19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力。逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．

解法一：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知

得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、

C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、

E(1，0，2 )、F(0，2，1)．…………(2分)

(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是

=(2，2，2). …………………(4分)

又∵ =(-1,2，-1)，

由 · = -2 4-2=0，

∴ ⊥ ，而EF 平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1……………………………………………………(6分)

(Ⅱ) ∵ =(0,2，0)，cos< , >=

∴异面直线EF与AB所成的角为arccos ……………………(8分).

(Ⅲ)设点P(2，2，t)(0<t≤2)，平面ACP的一个法向量为 =(x，y，z)，

则

∵ =(0，2，t), =(-2，2，0)，

∴ 取 .

易知平面ABC的一个法向量 ，

依题意知，< ， >=30°或< ， >=150°，

∴|cos< ， >|= ………………………(10分)

即 ，解得

∵ ，∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为 时，

二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………………(12分)

解法二：(Ⅰ)同解法一知 =(-1,2，-1) ， =(-2,0，2)，

= (-2,2，0)，∴ - = ，

∴ 、 、 共面.

又∵EF 平面ACD1，∴EF∥平面ACD1. ……………………………(4分)

(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．

解法三：(Ⅰ)取AD1的中点K，连结EK、KC，在△AA1D1

中，EK∥AA1，且EK= AA1，

∴四边形EKCF为平行四边形，

∴EF∥CK．又∵CK 平面ACD1，

EF 平面ACD1，∴EF∥平面ACD1. (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥CK，又AB∥CD，

∴∠DCK就是异面直线AB和EF所成的角(或补角)．

连DK，∵CD⊥平面AD1，DK 平面AD1，

∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK= ，∴tan∠DCK= ，

∴异面直线AB和EF所成的角为arctan ．…………………(8分)

(Ⅲ)假设存在点P，使得二面角P—AC—B的大小为30°．连结BD交AC于O 点，连结OP，∵ABCD为正方形，∴BO⊥AC，而OB为OP在平面AC上的射影，由三垂线定理得OP⊥AC，

∴∠BOP为二面角P—AC—B的平面角，∴∠BOP=30°，

则tan30°= , ∴BP=

∵ ∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为 时，

二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………………………(12分)

解法四：(Ⅰ)取D1C1的中点H，连结EH，FH，A1C1，

∵E为A1D1的中点，∴EH∥AlCl，

而A1C1∥AC，∴EH∥AC，

又∵F为CC1的中点，∴HF∥D1C．

∵EH与HF相交，D1C与AC相交，

∴平面EHF∥平面ACD1，EF 平面EHF，

∴EF∥平面ACD1． ………………(4分)

(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三．

20．本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．

解法一：(Ⅰ)依题意设v=kω2，……………………………………………………(2分)

又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，…………………………………(3分)

故vω2=6000ω2．………………………………………………………(4分)

(Ⅱ)设这颗钻石的重量为a克拉，

由(Ⅰ)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为

6000( a)2 6000( a)2．…………………………………………… (6分)

价值损失为

6000a2一[6000( a)2 6000( a)2]．…………………………………(7分)

价值损失的百分率为

答：价值损失的百分率为37.5％．……………………………………(8分)

(Ⅲ)若把一颗钻石按重量比为m∶n切割成两颗，价值损失的百分率应为

　　 ，…………………………(10分)

又 ，…………………………………(11分)

　　　　　等号当且仅当m=n时成立.

　　　　　 即重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)

解法二：(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一．

　　 (Ⅲ)设一颗钻石切割成两颗，其重量比为1∶x，

则价值损失的百分率为

,………………………………(10分)

又x>0，∴x2 1≥2x，

　　　　　　故

等号当且仅当x=1时成立．……………………………………………(11分)

故当重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)

21．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分12分．

解法一：(Ⅰ)设D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD为菱形

且AC、BD的交点在y轴上，

　　　∴B、C两点坐标为(-x，0)、(-a，y)．

由AC⊥BD得

· ＝（2x，y）·(2a，-y)

＝4ax - y2=0，

即　y2 = 4ax. …………………………(4分)

注重到ABCD为菱形，∴x≠0

故轨迹E的方程为y2 = 4ax（x≠0）.

……………………………………(5分)

(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°．

…………………………………(6分)

　　　　　 证实如下：

(1)当PQ⊥x轴时，P、Q点的坐标为(a，±2a)，又R(一a，0)，

此时∠PRQ=90°，结论成立；……………………………………(7分)

(2)当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k(x一a)，

由 得　k2x2 - (2ak2 4a)x k2a2 = 0

　　　　　　记P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1 x2 ＝2a ，x1 x2=a2.

　　　　　　　 · ＝（x1 a）（x2 a） y1y2

=（x1 a）（x2 a） k2（x1- a）（x2- a）

=(1 k2) x1 x2 (a - ak2)( x1 x2) a2 a2k2

=(1 k2) a2 (a - ak2)( 2a ) a2 a2k2= >0

………………………………………………………(10分)

即< , >为锐角，……………………………………………(11分)

综上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立． …………………………(12分)

解法二：(Ⅰ)设D(x，y)，由ABCD为菱形且AC、BD的交点在y轴上，

∴C点坐标为(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得

，

　　　　　化简得y2=4ax．………………………………………………………(4分)

　　　　　注重到ABCD为菱形，∴x≠O，

　　　　　故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)

(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)

　　　　证实如下：

　　　　　　设P（x1，y1），Q（x2，y2），同证法一易知，则x1 x2=a2.又y12=4ax1，y22=4ax2，且｜PR｜2＝x1 x2 2a ，因为

　　　　　　｜PR｜2 ｜QR｜2-｜PQ｜2＝（x1 a）2 y12 （x2 a）2 y22-( x1 x2 2a)2

=2ax1 2ax2-4a2≥2 -4a2=4a -4a2=0……………(9分)

　　　　　　从而　cos∠PRQ= ≥0，……………………(11分)

即∠PRQ≤90°…………………………………………………………(12分)

解法三：(Ⅰ)因为ABCD为菱形，且AC与BD的交点在y轴上，

所以点C的横坐标为 -a，

即点C在直线x = -a上，从而D到C的距离等于D到直线x = -a的距 离．又ABCD为菱形，所以点D到点A的距离与点D到直线x = -a的距离 相等，即轨迹E为抛物线，方程为y2=4ax．…………………………(4分)

注重到ABCD为菱形，∴x≠O，

故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)

(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)

证实如下：

如图，过P、Q向x轴及准线x = -a引垂线，记垂足为M、N、C、H，

则|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，所以∠PRM≤45°，…………………(10分)

同理可证∠QRN≤45°，从而∠PRQ≤90°.…………………………(12分)

解法四：(Ⅰ)同解法一．

(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°.………………………(6分)

证实如下：

设P（x1，y1），则y12=4ax1，tan∠PRM=|kPR|=| |= ，…(8分)

∵x1 a≥2 ，∴tan∠PRA≤1，∠QRA≤45°，…………………(10分)

同理可证∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°.……………………………(12分)

22．本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分14分．

解：(Ⅰ) = ………………………………………………………(2分)

∵x=0时，f(x)取得极值，∴ =0，……………………………………(3分)

故 =0，解得a=1.经检验a=1符合题意. …………………(4分) (Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x 1)-x2 - x，由f(x)= b,

得ln(x 1)-x2 x-b=0，

令φ(x)= ln(x 1)-x2 x-b，

则f(x)= b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]

恰有两个不同实数根．………………………………………………………(5分)

，………………………………(8分)

当x∈(O，1)时， >O，于是φ(x)在(O，1)上单调递增；

当x∈(1，2)时， <0，于是φ(x)在(1，2)上单调递减．…………(8分)

依题意有

∴ln3 -1≤b<ln2 .…………………………………………………………(9分)

(Ⅲ) f(x)=ln(x 1)-x2 –x的定义域为{x|x> -1}，………………………………(10分)

由(Ⅰ)知 ，……………………………………………(11分)

令 =0得，x=0或x= - (舍去)，

∴当-1<x<0时， >0，f(x)单调递增；

当x>0时， <0，f(x)单调递减.

∴f(0)为f(x)在(-1, ∞)上的最大值. …………………………………(12分)

∴f(x)≤ f(0)，故ln(x 1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时，等号成立).…(13分)

对任意正整数n，取x= >0得，ln( 1)< ，故ln( )< .

………………………………………………………………(14分)