数学 (理科) 试题
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
假如事件A、B互斥，那么P(A B)=P(A) P(B)．
假如事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．
假如事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)= 
球的表面积公式 S=4πR2，其中R表示球的半径．
球的体积公式 V= eq \f(3,4) πR3，其中R表示球的半径．
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确答案填在题目后面的括号内．
1．复数i(1一i)等于( )
A．1 i B．1一i C．一1 i D．一1一i
2．设全集为R，A={x|—1＜x＜1}，B={ x| x≥0}，则CR(A∪B)等于( )
A．{x|0≤x＜1} B．{x| x≥0} C．{x|x≤-1} D．{x|x＞-1}
3．已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且Eξ = 6.3，则a的值为( )
|
ξ |
4 |
a |
9 |
|
P |
0.5 |
0.1 |
b |
A．5 B．
4．已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB=3，∠AOB=120°，则球的体积为( )
A． 
5．已知条件p: k= 
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知数列 
A．1 B．
7．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )
A．若m∥α，n 
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∩β =m，m⊥n，则n⊥α
8．函数y=Asin(ωx φ)的周期为2π，其图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成( )
A． 
B．
C．
D．
9．已知函数y=f(x 1)的图象关于点(-1，0)成中心对称，则函数y=f(x)一定是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
lO．已知 
A．0 B．
11．某学校开设10门选修课程，其中3门是技能类课程，2门是理论类课程．学校规定每位学生应选修4门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修1门，则不同的选修方法种数是( )
A．50 B．
12．若函数f(x)为奇函数，且在(0， ∞)内是增函数，又f(2)=0，则 
A．(-2,0)∪(0,2) B．(-∞，-2)∪(0,2)
C．(-∞，-2)∪(2， ∞) D．(-2,0)∪(2， ∞)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上．
13．二项式( 
14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____．
15．已知向量a=(1，1)，b=(sinx ，-cosx)，x∈(0，π)，若a∥b ，则x的值是_______．
16．阅读下面材料，并回答问题：
设D和D1是两个平面区域，且D1 
已知有序实数对(a，b)满足a∈[O，3]，b∈[0，2]，则关于x的一元二次方程x2 2ax b2=0有实数根的概率是________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。证实过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
已知函数f(x)=cos2x sinxcosx(x∈R)
(I)求f( 
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．
18．(本小题满分12分)
在数列 
(I)求证：数列 
(Ⅱ)求c的值；
(Ⅲ)设bn=anan 1，数列 
19．(本小题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B
(I)求证：EF∥平面ACD，；
(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角；
(Ⅲ)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分12分)
国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω (克拉)的平方成正比，且一颗重为
(I)写出υ关于ω的函数关系式；
(Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
(Ⅲ)试用你所学的数学知识证实：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．
(注：价值损失的百分率= 
21．(本小题满分12分)
已知定点A(a，O)( a >0)，B为x轴负半轴上的动点．以AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上．
(I)求动点D的轨迹E的方程；
(Ⅱ)过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R (- a，0)，问当l绕点A转动时，∠PRQ是否可以为钝角?请给出结论，并加以证实．
22．(本小题满分14分)
已知函数f(x)=ln(x a)-x2-x在x = 0处取得极值．
(I)求实数a的值；
(Ⅱ)若关于x的方程，f(x)= 
(Ⅲ)证实：对任意的正整数n，不等式ln 
数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．D 9．A 10．D 11．D 12．A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分。满分16分．
13．15；14． 
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤．
17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分．
解： 
即 
∴f(x)单调递增区间为[ 
18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识考查化归与转化的思想方
法；考查推理与运算能力．满分12分．
解法一：(I) 
∴数列 
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 
又∵a1，a2，a5成等比数列， 
当c=0时，an 1=an，不合题意，舍去.
∴c=2. ……………………………………………………………………(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知c=2，∴ 
解法二：(Ⅰ)
∴数列
(Ⅱ)、(Ⅲ)解法同解法一.
19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力。逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．
解法一：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知
得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、
C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、
E(1，0，2 )、F(0，2，1)．…………(2分)
(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是
又∵ 
由
∴ 
∴EF∥平面ACD1……………………………………………………(6分)
(Ⅱ) ∵ 
∴异面直线EF与AB所成的角为arccos 
(Ⅲ)设点P(2，2，t)(0<t≤2)，平面ACP的一个法向量为 
则 
∵ 
∴ 
易知平面ABC的一个法向量 
依题意知，< 
∴|cos< 
即 
∵ 
二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………………(12分)
解法二：(Ⅰ)同解法一知 
∴
又∵EF
(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法一．
解法三：(Ⅰ)取AD1的中点K，连结EK、KC，在△AA1D1
中，EK∥AA1，且EK= 
|
∴四边形EKCF为平行四边形，
∴EF∥CK．又∵CK 
EF
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EF∥CK，又AB∥CD，
∴∠DCK就是异面直线AB和EF所成的角(或补角)．
连DK，∵CD⊥平面AD1，DK
∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK= 
∴异面直线AB和EF所成的角为arctan
(Ⅲ)假设存在点P，使得二面角P—AC—B的大小为30°．连结BD交AC于O 点，连结OP，∵ABCD为正方形，∴BO⊥AC，而OB为OP在平面AC上的射影，由三垂线定理得OP⊥AC，
∴∠BOP为二面角P—AC—B的平面角，∴∠BOP=30°，
则tan30°= 
∵
二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………………………(12分)
解法四：(Ⅰ)取D
∵E为A1D1的中点，∴EH∥AlCl，
而A
又∵F为CC1的中点，∴HF∥D
∵EH与HF相交，D
∴平面EHF∥平面ACD1，EF
∴EF∥平面ACD1． ………………(4分)
(Ⅱ)、(Ⅲ)同解法三．
20．本小题主要考查函数与不等式等基础知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．
解法一：(Ⅰ)依题意设v=kω2，……………………………………………………(2分)
又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，…………………………………(3分)
故vω2=6000ω2．………………………………………………………(4分)
(Ⅱ)设这颗钻石的重量为a克拉，
由(Ⅰ)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为
6000( 
价值损失为
价值损失的百分率为
答：价值损失的百分率为37.5％．……………………………………(8分)
(Ⅲ)若把一颗钻石按重量比为m∶n切割成两颗，价值损失的百分率应为
又 
等号当且仅当m=n时成立.
即重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)
解法二：(Ⅰ)、(Ⅱ)同解法一．
(Ⅲ)设一颗钻石切割成两颗，其重量比为1∶x，
则价值损失的百分率为
又x>0，∴x2 1≥2x，
故 
等号当且仅当x=1时成立．……………………………………………(11分)
故当重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大………………(12分)
21．本小题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查解析几何的基本思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分12分．
解法一：(Ⅰ)设D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD为菱形
且AC、BD的交点在y轴上，
∴B、C两点坐标为(-x，0)、(-a，y)．
由AC⊥BD得
＝4ax - y2=0，
即 y2 = 4ax. …………………………(4分)
注重到ABCD为菱形，∴x≠0
故轨迹E的方程为y2 = 4ax（x≠0）.
……………………………………(5分)
(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°．
…………………………………(6分)
证实如下：
(1)当PQ⊥x轴时，P、Q点的坐标为(a，±
此时∠PRQ=90°，结论成立；……………………………………(7分)
(2)当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k(x一a)，
由 
记P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1 x2 ＝
=（x1 a）（x2 a） k2（x1- a）（x2- a）
=(1 k2) x1 x2 (a - ak2)( x1 x2) a2 a2k2
=(1 k2) a2 (a - ak2)(
………………………………………………………(10分)
即<
综上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立． …………………………(12分)
解法二：(Ⅰ)设D(x，y)，由ABCD为菱形且AC、BD的交点在y轴上，
∴C点坐标为(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得
化简得y2=4ax．………………………………………………………(4分)
注重到ABCD为菱形，∴x≠O，
故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)
(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)
证实如下：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），同证法一易知，则x1 x2=a2.又y12=4ax1，y22=4ax2，且｜PR｜2＝x1 x2 2a ，因为
｜PR｜2 ｜QR｜2-｜PQ｜2＝（x1 a）2 y12 （x2 a）2 y22-( x1 x2 2a)2
=2ax1 2ax2
从而 cos∠PRQ= 
即∠PRQ≤90°…………………………………………………………(12分)
解法三：(Ⅰ)因为ABCD为菱形，且AC与BD的交点在y轴上，
所以点C的横坐标为 -a，
即点C在直线x = -a上，从而D到C的距离等于D到直线x = -a的距 离．又ABCD为菱形，所以点D到点A的距离与点D到直线x = -a的距离 相等，即轨迹E为抛物线，方程为y2=4ax．…………………………(4分)
注重到ABCD为菱形，∴x≠O，
故轨迹E的方程为y2=4ax(x≠O)．……………………………………(5分)
(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°.……………………………(6分)
证实如下：
如图，过P、Q向x轴及准线x = -a引垂线，记垂足为M、N、C、H，
则|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，所以∠PRM≤45°，…………………(10分)
同理可证∠QRN≤45°，从而∠PRQ≤90°.…………………………(12分)
解法四：(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°.………………………(6分)
证实如下：
设P（x1，y1），则y12=4ax1，tan∠PRM=|kPR|=| 
∵x1 a≥2 
同理可证∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°.……………………………(12分)
22．本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能九满分14分．
解：(Ⅰ) 
∵x=0时，f(x)取得极值，∴ 
故 
得ln(x 1)-x2 
令φ(x)= ln(x 1)-x2
则f(x)=
恰有两个不同实数根．………………………………………………………(5分)
当x∈(O，1)时， 
当x∈(1，2)时，
依题意有 
∴ln3 -1≤b<ln2
(Ⅲ) f(x)=ln(x 1)-x2 –x的定义域为{x|x> -1}，………………………………(10分)
由(Ⅰ)知 
令
∴当-1<x<0时，
当x>0时，
∴f(0)为f(x)在(-1, ∞)上的最大值. …………………………………(12分)
∴f(x)≤ f(0)，故ln(x 1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时，等号成立).…(13分)
对任意正整数n，取x= 
………………………………………………………………(14分)
