高考数学第二次诊断性考试试卷

数 学

注重事项：

1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目、试卷类型等写在答题纸上，并贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3．主观题请在规定区域答题。请务必保持答题纸的整洁，不要折叠，考试结束，将答题纸交回。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上．

1．设集合 ， ，则 与 的关系是▲ ．

A

B

E

D

C

·

·

·

·

2．复数 的虚部为 ▲ ．

3．如图，在 中， ，记 ，

则 ＝ ▲ ．（用 与 表示）

4．在数列 中，已知 ， ，则 ▲ ．

5．函数 的单调减区间是___▲_____．

6．若关于 的方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是 ▲ ．

7．设 ，函数 ，则使 的 的取值范围是 ▲ ．

8．已知圆 ，圆 与圆 外切，且与直线 切于点 ，则圆 的方程为 ▲ ．

9．如图，水波的半径以 的速度向外扩张，当半径为 时，圆面积的膨胀率为 ▲ ．

10．若函数 的图像关于直线 对称，

P

O

则此 ▲ ．

11．如图，摩天轮的半径为 ，点 距地面的高度为 摩

天轮做匀速转动，每 转一圈，摩天轮上点 的起始位置在

最低处．在摩天轮转动的一圈内，有 ▲

点 距离地面超过 ．

12．已知圆 上有 个点到直线 的距离都等于 ，

则 ▲ ．

13．给出以下四个命题：

①已知命题 ；命题 .则命题 和 都是真命题；

②过点 且在 轴和 轴上的截距相等的直线方程是 ；

③函数 在定义域内有且只有一个零点；

④先将函数 的图像向左平移 个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图像的函数解析式为 ．

其中正确命题的序号为 ▲ ．（把你认为正确的命题序号都填上）

2

0

x

y

14．已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表． 为 的导数，函数 的图像如右图所示．

若两正实数 满足 ，则 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且经过点 ．

⑴求此椭圆的方程及其离心率；

⑵求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的方程．

16．（本小题满分14分）已知向量 ，向量 是与向量 夹角为 的单位向量．

⑴求向量 ；

⑵若向量 与向量 共线，与向量 垂直，求 的最大值．

17．（本小题满分15分）设数列 的各项均为正数，它的前 项的和为 ，点 在函数 的图像上；数列 满足 ．其中 ．

⑴求数列 和 的通项公式；

⑵设 ，求证：数列 的前 项的和 （ ）．

18．（本小题满分15分）在海岸 处，发现北偏西 的方向，距离 mile的 处有一艘走私船，在 处北偏东 方向，距离 mile的 处的缉私船奉命以 mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以 mile/h的速度从 向北偏西 方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

A

B

C

D

450

750

300

19．（本小题满分16分）已知函数 和 在 处的切线平行．

⑴试求函数 和 的单调增区间；

⑵设 ，求证： ．

20．（本小题满分16分）定义在正整数集上的函数 对任意 ，都有

，且 ．

⑴求函数 的表达式；

⑵若 对于任意的 、 恒成立，求实数 的取值范围；

⑶对任意正整数 ，在 内总存在 个实数 ，

使 成立，求 的最大值．

08届高考数学第二次诊断性考试试卷

数学附加题

1．（本小题满分8分）求曲线 及直线 所围封闭区域的面积．

2．（本小题满分10分）求直线 （ 为参数）被曲线 所截得的弦长．

3．（本小题满分10分）设 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 倍，纵坐标伸长到 倍的伸压变换．

（1）求矩阵 的特征值及相应的特征向量；

（2）求逆矩阵 以及椭圆 在 的作用下的新曲线的方程．

4．（本小题满分12分）假定某射手每次射击命中的概率为 ，且只有 发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为 ，求：

⑴目标被击中的概率；

⑵ 的概率分布；

⑶均值 ．

08届高考数学第二次诊断性考试试卷

高三数学参考答案

1． 或 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10．

11． 12． 或 13．①③④ 14．

15．⑴由条件得

∴所求的椭圆的方程为 ，

其离心率 ；

⑵由条件得，双曲线的半焦距 ，实半轴长 ，所以 ，又因为此双曲线的焦点在 轴上，中心在原点，所以双曲线的方程为 ．

16．⑴设向量 ，则 ，

解之得： 或 ，

或 ;

⑵∵向量 与向量 共线，∴ ，

又∵与向量 垂直，

∴ ，即

∴

由 ，可得 ，

∴当 时， 取得最大值，最大值为 ．

17． ⑴由已知条件得 ， ①

当 时， ， ②

①－②得： ，即 ，

∵数列 的各项均为正数，∴ （ ），

又 ，∴ ；

∵ ，

∴ ，∴ ；

⑵∵ ，

∴ ，

，

两式相减得 ，

∴ ．

18． 由已知条件得， ， ， ，

∴

，

在 中， ，解之得 ，

∴ ，∴ 为水平线，

设经过时间 小时后，缉私船追上走私船，

则在 中， ， ， ，

，∴ ，

∴缉私船沿北偏西 的方向能最快追上走私船．

19．⑴∵ ， ，

由条件得 ，即 ，解得 ，

令 ，解得 ，而 ，

∴函数 的单调增区间为 ，

同理 的单调增区间为 ；

⑵∵函数 在 上是增函数，且 ，

∴ ，

同理 ，

∴ ，

∵ ，∴ ，即 ．

20．⑴取 ， ，

当 时，

，

又 ，∴ ；

⑵ ，

∴ 时 ，

由条件得 在 上恒成立，即 ，

若 ，则 ，

若 ，则 ，即 ，

若 ，则 ，即 ，

综上： ；

⑶∵ 在 上单调递增，

∴

∴只须 对 恒成立，

而 ，

∴ 即 ，又 ，

∴ ．

附加题答案：

1．解方程组 ，得 或 ，

∴面积 ．

2．把 化为普通方程为 ，

把 化为直角坐标系中的方程为 ，

∴圆心到直线的距离为 ，

∴弦长为 ．

3．（1）由条件得矩阵 ，

它的特征值为 和 ，对应的特征向量为 及 ；

（2） ，

椭圆 在 的作用下的新曲线的方程为 ．

4． ⑴目标被击中的概率为 ；

⑵ 的分布列为

（ ）

⑶均值 ．