08届考文科数学模拟试题

08届考文科数学模拟试题（三）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1 已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 =

（A）4 （B） （C） （D）

2 过点 的直线 经过圆 的圆心，则直线 的倾斜角大小为

（A） （B） （C） （D）

3 设函数f（ x ）的图象关于点（1， ）对称，且存在反函数 ( x )，若f（3） = 0，

则 （3）等于

(A)－1 (B)1 (C)－2 (D)2

4 设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面 给出下列四个命题：

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；　　　　②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；　　　　④若α∥β，β∥γ，m⊥α，，则m⊥γ

其中正确命题的序号是：

（A） ①和②　　 （B）②和③　　 （C）③和④　　 （D）①和④

5．函数y = cos（2x ）的一条对称轴方程是

(A)x = － (B)x = － (C)x = － (D)x =

6 ，则“ ”是“ ”的

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件

7 若点 在双曲线 的左准线上，过点 且方向向量为 的光线，经直线 反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为（ ）

(A) (B) (C) (D)

8．已知四面体 中， 与 间的距离与

夹角分别为3与 ，则四面体 的体积为（ ）

（A） （B）1 （C）2 （D）

９．从1，2，3，4，5 中取三个不同数字作直线 中 的值，使直线与圆 的位置关系满足相离，这样的直线最多有

（A）30条 （B）20条 （C）18条 （D）12条

10．已知等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 ，则

(A) (B) (C) (D)

11．已知点P是抛物线 = 2x上的动点，点p在y轴上的射影是M，点A的坐标是 ，则| PA | | PM |的最小值是

（A） （B）4 （C） （D）5

12．已知M点为椭圆上一点，椭圆两焦点为F1，F2，且 ，点I为 的内心，延长MI交线段F1F2于一点N，则 的值为（ ）

（A） （B） （C） （D）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）

13 已知 满足 ,则 的最大值为

14 四面体 中， 是 中点， 是 中点， ，则直线 与 所成的角大小为

15 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为

16．若M是直线 上到原点的距离最近的点，则当 在实数范围内变化时, 动点M的轨迹方程是 。

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤。）

17 （本小题12分）

已知函数

（I）求函数 的最小正周期;

(II) 当 时,求函数 的最大值,最小值

18 （本小题12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二等奖；摸出两个红球获得一等奖.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求

(1)甲、乙两人都没有中奖的概率；

(2)甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．

19 （本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC－ ，D是AC的中点，∠ DC = 60°

（Ⅰ）求证：A ∥平面B D；

（Ⅱ）求二面角D－B －C的大小。

20 （本小题12分）

已知函数f(x)=x3 ax2 bx c在x=- 与x=1时都取得极值．

(1)求a、b的值及函数f(x)的单调区间；

(2)若对x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．

21．（本小题12分）已知数列 中的相邻两项 是关于 的方程 的两个根，且 ．

（ = 1 \* ROMAN I）求 ， ， ， ；

（ = 2 \* ROMAN II）求数列 的前 项的和 ；

（Ⅲ）求

22 （本小题14分）

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线 ⊥x轴与点C， ， ,动点 到直线 的距离是它到点D的距离的2倍

（I）求点 的轨迹方程；

（II）设点K为点 的轨迹与x轴正半轴的交点,直线 交点 的轨迹于 两点

（ 与点K均不重合）,且满足 求直线EF在X轴上的截距；

（Ⅲ）在（II）的条件下，动点 满足 ,求直线 的斜率的取值范围

2008届高三数学（文科）模拟试题（三）答题卷

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二、填空题：

13、 14、 15、 16、

三、解答题：

17、

18、

19、

20、

21、

22、

08届考文科数学模拟试题（三）参考答案

一、1 B 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B

7 A 8 A 9 C 10 D 11 C 12 B

二、13、3 14、 15、-160 16、

三、17、解: (1) ……… 3分

的最小正周期为 ………………… 5分

(2) , ………………… 7分

………………… 10分

………………… 11分

当 时,函数 的最大值为1,最小值 ……… 12分

18.解：(1)P1= ； ……… 6分

（2）方法一：P2=

方法二：P2=

方法三：P2=1- ……… 12分

19、解法一：

（Ⅰ）连结 C交BC 于O，则O是B C的中点，连结DO。

∵在△A C中，O、D均为中点，

∴A ∥DO…………………………2分

∵A 平面B D，DO 平面B D，

∴A ∥平面B D。…………………4分

（Ⅱ）设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。

∵∠ DC = 60°，∴C = 。

作DE⊥BC于E。

∵平面BC ⊥平面ABC，

∴DE⊥平面BC

作EF⊥B 于F，连结DF，则 DF⊥B

∴∠DFE是二面角D-B -C的平面角………………8分

在Rt△DEC中，DE=

在Rt△BFE中，EF = BE·sin

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

∴二面角D－B －C的大小为arctan ………………12分

解法二：以AC的中D为原点建立坐标系，如图，

设| AD | = 1∵∠ DC =60°∴| C | = 。

则A（1，0，0），B（0， ，0），C（-1，0，0），

（1，0 ）， ，

（Ⅰ）连结 C交B 于O是 C的中点，连结DO，则

O . =

∵A 平面B D，

∴A ∥平面B D.………………………………………………4分

（Ⅱ） =（-1，0， ），

设平面B D的法向量为n = （ x , y , z ），则

即 则有 = 0令z = 1

则n = （ ，0，1） …………………………………8分

设平面BC 的法向量为m = ( x′ ,y′，z′)

=（0，0， ）， ，

′

′

′

′

即 ∴z′= 0

令y = -1，解得m = （ ，-1，0）

二面角D —B —C的余弦值为cos＜n , m＞＝

∴二面角D—B —C的大小为arc cos …………１２分

20、解: 解：

（1）f(x)=x3 ax2 bx c, f′(x)=3x2 2ax b,

由f′(- )= a b=0, f′(1)=3 2a b=0,得

a=－ ，b=－2，………… ３分

f′（x）=3x2-x-2=（3x 2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

ｘ

（-∞，－ ）

－

（－ ，1）

1

（1， ∞）

f′（x）

0

－

0

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以函数f（x）的递增区间为（－∞，－ ）与（1， ∞）；

递减区间为（－ ，1）.　　　　　　　　　　　　 ………… ６分

（2）f（x）=x3- x2-2x c x∈［-1，2］，当x=- 时，f（x）= c为极大值，

而f（2）=2 c，则f（2）=2 c为最大值. 　　　　　………… ８分

要使f（x）＜c2（x∈［-1，2］）恒成立，只须c2＞f（2）=2 c，

解得c＜－1或c＞2. 　　　　　　　　　　　　　　………… 12分

21、（I）解：方程 的两个根为 ， ，

当 时， ，所以 ；

当 时， ， ，所以 ；

当 时， ， ，所以 时；

当 时， ， ，所以 ． ………… 4分

（II）解：

． ………… 8分

（Ⅲ） = ………… 12分

22、解： （I）依题意知,点 的轨迹是以点 为焦点、直线 为其相应准线,

离心率为 的椭圆

设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

又 ， ，∴点 在x轴上,且 ,且 则 3

解之得： , ∴坐标原点 为椭圆的对称中心

∴动点M的轨迹方程为： ………… 4分

（II）设 ,设直线 的方程为 ,代入 得

………… 5分

,

………… 6分

, ,

,

解得: (舍) ∴ 直线EF在X轴上的截距为 …………8分

（Ⅲ）设 ,由 知,

直线 的斜率为 ………… 10分

当 时, ;

当 时, ,

时取“=”）或 时取“=”），

………… 12分

综上所述 ………… 14分