理科数学试卷

命题人：徐喜峰（2008年03月17日）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注重事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的考号、班级、姓名等用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上.
2．每小题选出答案后，用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若全集U = R，集合

A． B． C． D．

2．向量 满足 与 的夹角为60°，则

A．1 B． C． D．

3． 为等差数列，若 ，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n =

A．11 B．17 C．19 D．21

4．不等式 的解集是

A． B． C． D．（0， ）

5．设 ，则

A． B． C． D．

6．在 中，已知sinC=2sin(B C)cosB,那么 一定是

Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等边三角形

7．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝eq \f(a,n(n＋1))(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(eq \f(1,2)＜ξ＜eq \f(5,2))的值为

　 A．eq \f(2,3) B．eq \f(3,4) C．eq \f(4,5) D．eq \f(5,6)

　 A．(0，1) B．(eq \f(1,2)，1) C．[1，＋∞] D．[eq \f(1,2)，2]

9．正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为

A．1:3 B． C． D．

10．已知P是椭圆 上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则△F1PF2的面积为

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．已知等式 成立，则 的值等于 .

12．直线 和圆 交于点A、B，以 轴的正方向为始边，OA为终边（O是坐标原点）的角为 ，OB为终边的角为 ，那么 是 .

14．抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1(n∈N＋)，交x轴于An，Bn两点，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2007B2007|的值为

15．下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

其中真命题的编号是_____________

三、解答题：解答应写出文字说明，证实过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

已知锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为 、 、 ， 。

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求 的值。

17．（本小题满分12分）

甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他

三人中的一人，……，且拿球者传给其他三人中的任何一人都是等可能的，求：

（Ⅰ）共传了四次，第四次球传回到甲的概率；

（Ⅱ）若规定：最多传五次球，且在传球过程中，球传回到甲手中即停止传球；设ξ表示传球停止时传

球的次数，求

在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是a的正方形，

PA⊥平面ABCD，且PA=2AB

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；

（Ⅱ）求二面角B—PC—D的余弦值.

19．（本小题满分12分）

若函数

（Ⅰ）求函数 的单调区间

（Ⅱ）若对所有的 成立，求实数a的取值范围.

20．（本小题满分13分）

已知直线 相交于A、B两点，M是线段AB上的一点， ，且点M在直线 上.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆 上，求椭圆的方程.

21．（本小题满分14分）

把正奇数数列 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：

1

3 5

7 9 11

－ － － －

－ － － － －

设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 行，从左往右数第 个数。

（Ⅰ）若 ，求 的值；

（Ⅱ）已知函数 的反函数 为，若记三角形数表中从上往下数第 行各数的和为 ，求数列 的前 项和 。

理科参考答案

一、选择题：

DDCBA BDCDA

11．0 12． 13．1 14． 15. ①④

三、解答题：

16．解：（Ⅰ） ；（Ⅱ） 12分

17．解：（Ⅰ） 6分

18．解：（Ⅰ）证实：∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD

∵ABCD为正方形 ∴AC⊥BD

∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD内，

∴平面PAC⊥平面BPD 6分

（Ⅱ）解法一：在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角，

在△BND中，BN=DN= ，BD=

∴cos∠BND = 12分

解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N连DN，

∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；

∴∠BND为二面角B—PC—D的平面角 8分

设

10分

12分

解法三：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易证AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，

10分

∵二面角B—PC—D的平面角与∠MAN互补

∴二面角B—PC—D的余弦值为 12分

19．解：（1） 的定义域为 …………12分

…………2分

①当 …………3分

② 时

…………4分

…………5分

综上：

单调递减区间为

的单调递增区间（0， ） …………6分

（2） …………7分

…………8分

则 …………9分

…………10分

…………11分

…………12分

另解：

…………7分

…………8分

单增 …………9分

①当

…………11分

②当

不成立 …………12分

综上所述

20．解：（Ⅰ）由 知M是AB的中点，

设A、B两点的坐标分别为

由

，

∴M点的坐标为 4分

又M点的直线l上：

7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，不妨设椭圆的一个焦点坐标为 关于直线l：

上的对称点为 ，

则有 10分

由已知

，∴所求的椭圆的方程为 12分

21．解：（Ⅰ）∵三角形数表中前 行共有 个数，

∴第 行最后一个数应当是所给奇数列中第 项，即 。

因此，使得 的 是不等式 的最小正整数解。

由 得 ，∴ 。∴ 。

第45行第一个数是 ，∴

（Ⅱ）∵ ，∴ 。

∵第 行最后一个数是 ，且有 个数，若 将看成第 行第一个数，则第 行各数成公差为 的等差数列，故 。∴ 。

故 。用错位相减法可求得 。