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高三数学上学期期末试题
一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 ， ，则 等于（ ）.
A． B． C． D． 2.对于平面 和共面的直线 、 ，下列命题中的真命题是（ ）.
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 、 与 所成的角相等，则 3.某工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产的产品件数是（ ）．
A.1680 B.5600 C．2800 D．8400 4.已知函数 的图象经过点 ,则该函数的一条对称轴方程为（ ）.
A． B． C． D． 5.已知（x，y）在映射f的作用下的象是（x+y，x-y），则在该映射作用下，（1，2）的原象是（ ）.
A.（1，2） B.（3，-1） C.（ ，- ） D.（- ， ）
6.若(x+1)4(x+4)8=a0(x+3)12+ a1(x+3)11+ a2(x+3)10+…+ a11(x+3)+a12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)=（ ）. A．27 B．28 C．8 D．7 7. 从原点向圆 作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（ ）. A． B． C． D． 8.在 中，若 ，AC=2， ，则 的值为（ ）. A． B． C． D． 9.先后抛掷两枚均匀的骰子（骰子是一种正方形的玩具，在正方体各面上分别有点数1，2，3，4，5，6），骰子落地后朝上的点数分别为x、y，则 的概率为（ ）. A． B． C． D． 10.直角梯形ABCD如图（1），动点P从B点出发，由 沿边运动，设点P运动的路程为x， 的面积为 ．如果函数 的图象如图（2），则 的面积为（ ）.
A．10 B．16 C．18 D．32
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 11.在正三棱锥S—ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC = ，则此正三棱锥的外接球的表面积为________ __．
12. 已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋m2＝0无实数根．若“p或q”为真，“p且q”为假，则m的取值范围是 ． 13．若不等式 的解集 ，则实数 =___________.
14．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y), 且f(2)＝4,则f(－1)＝____________. 15．已知x、y满足条件 ，则 的最小值为 .
16. 对大于或等于2的自然数m的n次幂进行 如下方式的“分裂”如右图，仿此，52的“分裂” 中最大的数是 ，若 的“分裂” 中最小的数是21，则m的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）已知锐角 中，三个内角为A、B、C，两向量 ， 。若 与 是共线向量．
（I）求 的大小； （II）求函数 取最大值时， 的大小．
18.（本小题满分14分）某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位：万元）.
（I）分别将A、B两种产品的利润表示为投资x（万元）的函数关系式；
（II）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？
19.（本小题满分14分）四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD 底面ABCD，当 的值等于多少时，能使PB AC？并给出证明.
20．（本小题满分14分）如图所示，已知圆 为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上,且满足 的轨迹为曲线E. （I）求曲线E的方程；
（II）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|.
21．（本小题满分16分）已知 ， ，数列 满足 ， ， ． （I）求证：数列 是等比数列； （II）当n取何值时， 取最大值，并求出最大值； （III）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
2006—2007学年度上学期高三数学试题（1）参考答案
江苏省江阴市长泾中学 戴延庆 2006.12.30
一、选择题： 1.解析：A=[0，4]， ，所以 ，故选B. 2.解析：对于平面 和共面的直线 、 ，真命题是“若 则 ”，选C.
3.解析：根据抽样方法公平性原则，三条生产线所抽取的样本数成等差数列，所以三条生产线的产量也成等差数列，故乙的产量为 （件），故选B. 4.解析：依题意 ,又 ,故 ,令 解得 ,令 ，可得答案C. 5.解析：解方程组 ，答案为C.
6.解析：令x=-2, 则a0+ a1+ a2+…+ a11+a12=28，
令x=-4, 则a0-a1+ a2-…-a11+a12=0，
两式相加得2(a1+a3+a5+…+a11)= 28，a1+a3+a5+…+a11= 27.故选D.
7. 解析：由已知，圆心坐标为P(0，6），半径为3，
从原点向该圆作两条切线，可知两条切线与y轴所成角都是.答案：B.
8.解析：由 = ·2·ABsin ，AB=6，BC=2 ，
.故选D.
9.解析：由log2xy=1得2x=y，满足此关系式的有序数对有（1,2），（2,4），（3,6），因此概率为P= = .故选A. 10．解析：由图知道BC=4，CD=5，DA=5，进而得AB＝8，所以三角形的面积为16，故选B. 二、填空题 11.答案 解析: 正三棱锥S—ABC中，由SC⊥侧面SAB得知SA⊥SB⊥SC，且SA = SB = SC = ，则正三棱锥外接球即以SA、SB、SC为棱长的正方体的外接球，即有：
12.解析：由方程x2－mx＋1＝0有两个不等的正实数根，得m>2，由方程4x2＋4(m－2)x＋m2＝0无实数根，得m>1 ，所以 1＜m≤2 . 13.解析：-4 .
14.解析：-2.
15.解析：画出线性区域如图，结合图形可知，最优解为 . 故选D.
16.解析：类比以上可得所求为9，5.
三、解答题
17.解：（I）∵ ∴ ，…………2分
∴ ∴ ∴ …………4分
∵ ∴ ∴ …………………………6分
（II）∵ ∴ ，…………………………………………7分
………………………………10分 ∴ 当 时，即 时，y取得最大值.……………………………12分
18.解：（I）设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元,………………………………………………………………………………1分
由题意可设f (x)=k1x,g(x)=k2 ,…………………………………………3分
由图知f (1)= ，∴k1=.
又g(4)= ∴k2= ，…………………………………………………………5分
从而，f (x)= x(x≥0), g(x)= (x≥0) .……………………………6分
(II) 设A产品投入x万元,则B产品投入10－x万元，设企业利润为y万元.……
y= f (x)+g(10-x)= x+ ,(0≤x≤).………………………………8分
令t= 则y= + t=- (t- )2+ (0≤t≤).………………10分
当t= 时,ymax= ,此时x=3.75.……………………………………………………11分
答:当A产品投入3.75万元,则B产品投入6.25万元,企业最大利润为 万元.…12分
19．解：当 = 时，能使PB AC.………………………………2分 证明：取AD中点F，连接PF，
PF AD，面PAD 面ABCD，
PF 面ABCD，……………………………………4分
连结BF，交AC于O，则根据题意，当 = 时，有 AC= AB，AF= AB，AO= AB，FO= AB.………………8分 ∴AF2=AO2+FO2，即FB AC，…………………………………………10分
由三垂线定理可证得PB AC.
∴当 = 时，能使PB AC.…………………………………………12分
20.解：（Ⅰ） ∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|. ……………………………2分 又 =|AC|， ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0）A（1，0）为焦点的椭圆.………5分 且椭圆长轴长为 ，焦距2c=2． ∴曲线E的方程为 …………………………………………7分 （Ⅱ）直线 的斜率 ∴直线 的方程为 ……………………………………………8分 由 设H ，Q ，则x1＝0，x2＝．…………………………10分 又因为直线斜率为1，故|HQ|＝．……………………………………12分
21．解：（I）∵ ， ， ， ∴ ． 即 ．…………………………………………1分 又若an≠1，则an+1≠1，事实上当an≠1时，由 知 ，若an+1=1，则an=1，从而与an≠1矛盾，故an+1≠1． 由此及 ≠1可知an≠1对任意n∈N 都成立． 故对任何 ， ，………………………………………3分 所以 ． ∵ ，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列.…………5分 （II）由（I）可知 = （ ）．
∴ ．
．………………………………7分 当n=7时， ， ； 当n<7时， ， ； 当n>7时， ， ． ∴当n=7或n=8时， 取最大值，最大值为 ．…………9分 （III）由 ，得 ……………… （*）
依题意（*）式对任意 恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不符合题意．…………10分
②当t<0时，由 ，可知 （ ）．
而当m是偶数时 ，因此t<0不符合题意．………………11分 ③当t>0时，由 （ ）,
∴ ，∴ ．（ ）
设 （ ），
∵ = ,
∴ ．
∴ 的最大值为 ．………………………………13分 所以实数 的取值范围是 ．………………………………14分
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