高考数学下学期阶段性检测理科试题
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一.选择题(本题共有10个小题,每小题5分,共50分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,把正确的代号填在机读卡的指定位置上 )
1.若
,则下列结论不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知
为两不相等的实数,集合
,映射
表示把
中的元素
映射到集合
中仍为
,则
等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知方程
的4个实根经过调整后组成一个以2为首项的等比数列,则
( )
A.
B.
C.
D.24
4.从8名女生,4名男生中选出6名学生组成课外小组,假如按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法种数为( )
A.
B.
C.
D.
5.若已知
, 求
的值, 那么在以下四个答案: ①
; ②
;
③
; ④
中, 正确的是( )
(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④
6.椭圆
的左准线为
,左右焦点分别为
和
;抛物线
的准线为
,焦点为
与
的一个交点为
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
7.已知
平面上的一定点,
、
、
是平面上不共线的三个动点,点
满足
,则动点
的轨迹一定通过
的( )
A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
8.
是
的导函数,
的图象如图所示,则
的
图象只可能是下图中的( )
A. B. C. D.
9.如右图所示,在单位正方体
的面对角线
上存在一点
使得
最短,则
的最小值为 ( )
A.2 B.
C.
D.
10.设三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为1米,有一个小虫从
点A开始按以下规则前进:在每一个顶点处等可能的选择通过
这个顶点的三条棱之一,并且沿着这条棱爬到尽头,则它爬了4米之后恰好位于顶点A的概率为( )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上.
11.
是虚数单位,复数
的虚部为 .
12、对于正整数
和
,定义
!=
,其中
,且
是满足
的最大整数,则(
!)/(10
!)=___________
13.由约束条件
所确定的区域面积为
,记
,则
等于 .
14.函数
图像上至少存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则公比的取值范围是_________________________.
15.对于集合
{1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6+4–2+1=6,集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时,集合N={1, 2}的所有非空子集为{1},{2},{1, 2},则它的“交替和”的总和S2=1 2 (2–1)=4,请你尝试对
、
的情况,计算它的“交替和”的总和
、
,并根据其结果猜测集合
{1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和
。(不必给出证实)
三、解答题:本大题共6个小题.共75分.解答要写出文字说明、证实过程或解题步骤.
16.(本小题满分12分)已知
三个顶点分别是A(3,0)、B(0,3)、C
,其中
.
(1)若
,求角
的值;
(2)若
,求
的值.
17.(本小题满分12分)设a>0,函数f(x)=x3-ax在[1, ∞
上是单调函数.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设x0≥1,f(x0)≥1,且f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0.
18.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,
,D为棱
上的一动点,
、
分别为
的重心.
(1)求证:
;
(2)若二面角C—AB—D的大小为
,求点C1到平面A1B1D的距离;
(3)若点C在
上的射影正好为M,试判定点C1在
的射影是否
为N?并说明理由.

19.(本小题满分12分)
已知某车站天天8:00—9:00、9:00—10:00都恰好有一辆客车到站;8:00—9:00到站的客车
可能在8:10、8:30、8:50到,其概率依次为
.9:00—10:00到站的客车
可能在9:10、9:30、9:50到,其概率依次为
.今有甲、乙两位旅客,他们到站的时间分别为8:00和8:20,试问他们候车时间的平均值哪个更多?
20. (本小题满分13分)
已知二次函数
同时满足:①不等式
的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在
,使得不等式
成立。 设数列
的前
项和
,
(1)求数列
的通项公式;
(2)试构造一个数列
,(写出
的一个通项公式)满足:对任意的正整数
都有
,且
,并说明理由;
(3)设各项均不为零的数列
中,所有满足
的正整数
的个数称为这个数列
的变号数。令
(
为正整数),求数列
的变号数。
21.(本小题满分14分)
如图,棱长为1的正方体,
、
为
、
的中点,
是
的中点,过
作直线与
交于
,与
交于
,
(1) 求
的长度;
(2) 将平面
无限延展开来,设平面
内有一动点
,它到直线
的距离减去它到
点的距离的平方差为1,请建立适当的直角坐标系,
求出动点
所构成曲线
的方程;
(3) 在(2)的条件下,请说明以
为直径的圆与曲线
是否有交点,假如有请求出;假如没有请使
用适当的文字加以说明
参考答案
一、选择题 C D D A B B C D C B
二、填空题 11.
; 12.
; 13.
; 14.
; 15.
三、解答题
16.解:(1)∵
三个顶点分别是A(3,0)、B(0,3)、C
, ∴
,
由
得,
即
∵
, ∴
.
(2)由
得,
即
,
∴
,
又
, ∴
,
∴
.
17.解(1)y′=f ′(x)=3x2-a.
若f(x)在[1, ∞]上是单调递减函数,则须y′<0,即a>3x2,这样的实数a不存在,
故f(x)在[1, ∞]上不可能是单调递减函数.
若f(x)在[1, ∞]上是单调递增函数,则a≤3x2,由于x∈[1, ∞],故3x2≥3.从而0<a≤3 .
(6分)
(2)方法一 (反证法)由(1)可知f(x)在[1, ∞)上只能为单调递增函数.假设f(x0)≠x0,
若1≤x0<f(x0),则f(x0)<f(f(x0))=x0矛盾,
若1≤f(x0)<x0,则f(f(x0))<f(x0),即x0<f(x0)矛盾,
故只有f(x0)=x0成立. (12分)
方法二 设f(x0)=u,则f(u)=x0,∴x
-ax0=u,u3-au=x0,两式相减得(x
-u3)-a(x0-u)=u-x0,
∴(x0-u)(x
x0u u2 1-a)=0,∵x0≥1,u≥1,∴x
x0u u2≥3.
又0<a≤3,∴x
x0u u2 1-a>0.
∴x0-u=0,即u=x0,亦即f(x0)=x0.
(18)解:(1)连结
并延长,分别交
于
,连结
,
分别为
的重心,则
分别为
的中点
在直三棱柱
中,
(2)连结
即为二面角
的平面角
在
中,
连结
同上可知,
设
(3)
∽
.
解法二:空间向量解法:以C1为原点,如图建立空间直角坐标系。
(1) 设
,依题意有:
因为M、N分别为
的重心.
所以
∵
∴
(2) 因为平面ABC的法向量
, 设平面ABD的法 向量
令
,设二面角C—AB—D为
,则由
因此
设平面A1B1D的法向量为
,则
设C1到平面A1B1D的距离为
,则
(3)若点C在平面ABD上的射影正好为M,则
即
(舍)
因为D为CC1的中点,根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N。
19.本题考查离散型随机变量的分布列,考查运用数学知识解决问题的能力,以及推理和运算能力
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10 |
30 |
50 |
70 |
90 |
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