高考数学下学期阶段性检测理科试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题（本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的代号填在机读卡的指定位置上 ）

1．若 ，则下列结论不正确的是（ ）

A． B．

C． D．

2．已知 为两不相等的实数，集合 ，映射 表示把 中的元素 映射到集合 中仍为 ，则 等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知方程 的4个实根经过调整后组成一个以2为首项的等比数列，则 （ ）

A． B． C． D．24

4．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，假如按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为( )

A． B． C． D．

5．若已知 , 求 的值, 那么在以下四个答案: ① ; ② ;

③ ; ④ 中, 正确的是（ ）

(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④

6．椭圆 的左准线为 ，左右焦点分别为 和 ；抛物线 的准线为 ，焦点为 与 的一个交点为 ，则 等于（ ）

A． B． C． D．

7．已知 平面上的一定点， 、 、 是平面上不共线的三个动点，点 满足 ，则动点 的轨迹一定通过 的（ ）

A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心

8． 是 的导函数， 的图象如图所示，则 的

图象只可能是下图中的（ ）

A． B． C． D．

9．如右图所示，在单位正方体 的面对角线

上存在一点 使得 最短，则 的最小值为 （ ）

A．2 B．

C． D．

10．设三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为1米，有一个小虫从

点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能的选择通过

这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了4米之后恰好位于顶点A的概率为（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．

11． 是虚数单位，复数 的虚部为 .

12、对于正整数 和 ，定义 ！= ，其中 ，且 是满足 的最大整数，则（ ！）/（10 ！）=___________

13．由约束条件 所确定的区域面积为 ，记 ，则 等于 .

14．函数 图像上至少存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则公比的取值范围是_________________________.

15．对于集合 {1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1 2 (2–1)=4，请你尝试对 、 的情况，计算它的“交替和”的总和 、 ，并根据其结果猜测集合 {1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 。(不必给出证实)

三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答要写出文字说明、证实过程或解题步骤.

16.（本小题满分12分）已知 三个顶点分别是A（3，0）、B（0，3）、C ，其中 ．

（1）若 ，求角 的值；

（2）若 ，求 的值．

17．(本小题满分12分)设a>0,函数f(x)=x3-ax在[1, ∞ 上是单调函数.

（1）求实数a的取值范围；

（2）设x0≥1，f(x0)≥1，且f(f(x0))=x0，求证：f(x0)=x0.

18.（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中， ，D为棱 上的一动点， 、 分别为 的重心．

（1）求证： ；

（2）若二面角C—AB—D的大小为 ，求点C1到平面A1B1D的距离；

（3）若点C在 上的射影正好为M，试判定点C1在 的射影是否

为N？并说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知某车站天天8：00—9：00、9：00—10：00都恰好有一辆客车到站；8：00—9：00到站的客车 可能在8：10、8：30、8：50到，其概率依次为 .9：00—10：00到站的客车 可能在9：10、9：30、9：50到，其概率依次为 .今有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为8：00和8：20，试问他们候车时间的平均值哪个更多？

20． (本小题满分13分)

已知二次函数 同时满足：①不等式 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在 ，使得不等式 成立。 设数列 的前 项和 ，

（1）求数列 的通项公式；

（2）试构造一个数列 ，（写出 的一个通项公式）满足：对任意的正整数 都有 ，且 ，并说明理由；

（3）设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数。令 （ 为正整数），求数列 的变号数。

21．(本小题满分14分)

如图，棱长为1的正方体, 、 为 、 的中点， 是 的中点，过 作直线与 交于 ，与 交于 ，

（1） 求 的长度；

（2） 将平面 无限延展开来，设平面 内有一动点 ，它到直线 的距离减去它到 点的距离的平方差为1，请建立适当的直角坐标系，

N M

C

C1

D1

B1

A1

A

D

B M

M M

O M

求出动点 所构成曲线 的方程；

（3） 在（2）的条件下，请说明以 为直径的圆与曲线

是否有交点，假如有请求出；假如没有请使

用适当的文字加以说明

参考答案

一、选择题 C D D A B B C D C B

二、填空题 11. ； 12. ； 13. ； 14. ； 15.

三、解答题

16.解：（1）∵ 三个顶点分别是A（3，0）、B（0，3）、C ，
∴ ，

由 得，

即

∵ ， ∴ ．

（2）由 得，
即 ，

∴ ，
又 ， ∴ ，

∴ ．

17．解（1）y′=f ′(x)=3x2-a.

若f(x)在[1, ∞]上是单调递减函数，则须y′<0,即a>3x2,这样的实数a不存在，

故f(x)在[1, ∞]上不可能是单调递减函数.

若f(x)在[1, ∞]上是单调递增函数，则a≤3x2，由于x∈[1, ∞]，故3x2≥3.从而0<a≤3 .

（6分）

（2）方法一 (反证法)由(1)可知f(x)在[1, ∞)上只能为单调递增函数.假设f(x0)≠x0,

若1≤x0<f(x0)，则f(x0)<f(f(x0))=x0矛盾，

若1≤f(x0)<x0,则f(f(x0))<f(x0),即x0<f(x0)矛盾，

故只有f(x0)=x0成立. （12分）

方法二 设f(x0)=u,则f(u)=x0，∴x -ax0=u,u3-au=x0,两式相减得(x -u3)-a(x0-u)=u-x0，

∴(x0-u)(x x0u u2 1-a)=0,∵x0≥1,u≥1，∴x x0u u2≥3.

又0<a≤3,∴x x0u u2 1-a>0.

∴x0-u=0,即u=x0,亦即f(x0)=x0.

（18）解：（1）连结 并延长，分别交 于 ，连结 ，

分别为 的重心，则 分别为 的中点

在直三棱柱 中，
（2）连结

即为二面角 的平面角

在 中，

连结

同上可知，

设

（3）

∽

.

解法二：空间向量解法：以C1为原点，如图建立空间直角坐标系。

（1） 设 ，依题意有：

因为M、N分别为 的重心．

所以

∵ ∴

（2） 因为平面ABC的法向量 ， 设平面ABD的法 向量

令 ，设二面角C—AB—D为 ，则由

因此

设平面A1B1D的法向量为 ，则

设C1到平面A1B1D的距离为 ，则

（3）若点C在平面ABD上的射影正好为M，则

·

即 （舍）

因为D为CC1的中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N。

19．本题考查离散型随机变量的分布列，考查运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力

10

30

50

70

90

旅客甲候车时间的平均值比乙多.设甲、乙两位旅客的候车时间分别为 分钟，则他们的分布列为：

甲旅客 乙旅客

10

30

50

易知 ，

， ，旅客甲候车时间的平均值比乙多.

20.解：（1）∵ 的解集有且只有一个元素，∴ ，

当 时，函数 在 上递增，故不存在 ，使得不等式 成立。

当 时，函数 在 上递减，故存在 ，使得不等式 成立。

综上，得 ， ，∴ ，∴

（2）要使 ，可构造数列 ，∵对任意的正整数 都有 ，

∴当 时， 恒成立，即 恒成立，即 ，

又 ，∴ ，∴ ，等等。

（3）解法一：由题设 ，

∵ 时， ，∴ 时，数列 递增，

∵ ，由 ，可知 ，即 时，有且只有 个变号数；

又∵ ，即 ，∴此处变号数有 个。

综上得 数列 共有 个变号数，即变号数为 。

解法二：由题设 ，

时，令 ；

又∵ ，∴ 时也有 。

综上得 数列 共有 个变号数，即变号数为 。

21.

P

O

C

B

C1

D1

B1

A1

A

D

E

N

M

P

E

(1)如图，连 交 于 ，连 ，延长 ， 交于 ，连结 交 于 ，则 为所求的线段，易得 ，

在 中，可得到

，

Q

故 ．

P

O

C

B

C1

D1

B1

A1

A

D

E

F

E

T

G

H

M

P

（2）过 作 ，过 作 ，

又 ，故 ．

在 中，

故 点的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线，

以过 点且垂直于 的直线为 轴，以 点 的垂线段的中点为原点，建立直角坐标系，设抛物线的方程 ，由于 点到 的距离为 ，故 ，

∴曲线K的方程为

（3）假设抛物线与圆有交点，设交点为 ，则 为直角，易得

故 ，又 ，过 作 则

，与 矛盾，故交点 不存在，于是以 为直径的圆与曲线 是没有交点．