高考数学典型问题与易错问题

典型问题

1．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边， ，则△ABC的外形为（ B ）

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

2.“ ”是“ ”的 条件。（答：充分非必要条件）

3．已知平面上三点A、B、C满足 的值等于 （ C ）

A．25 B．24 C．－25 D．－24

4.函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则 ＝________（答： ）

5、已知两圆方程分别为： ， ，则两圆的公切线方程为（A）

A、 B、 C、 D、

6、已知动点 满足 ， 为坐标原点，则 的取值范围是_ ______

16、对正整数 ，设抛物线 ，过 任作直线 交抛物线于 ， 两点，则数列 的前 项和为__—n(n 1)________

7．正实数x1，x2及函数，f (x)满足 ，则 的最小值为 （ B ）

A．4 B． C．2 D．

8．已知函数 ，则“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（ A ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．椭圆 与直线 交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为 的值为 （ A ）

A． B． C． D．

10.已知： 是直线， 是平面，给出下列四个命题：（1）若 垂直于 内的两条直线，则 ；（2）若 ，则 平行于 内的所有直线；（3）若 且 则 ；（4）若 且 则 ；（5）若 且 则 。其中正确命题的个数是 （ B ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内

有一动点P到平面A1C1的距离是直线BC的距离的2

倍，点M是棱BB1的中点，则动点P所在曲线的大致

82615980

外形为 （ C ）

12．一次研究性课堂上，老师给出函数 ，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：

甲：函数f (x)的值域为（－1，1）；

乙：若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；

丙：若规定 对任意 恒成立.

你认为上述三个命题中正确的个数有（ D ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

13.已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是____(答： ))；

14. 在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若 =m， =n，则

A

B

C

S

D

E

F

= mn. 拓展到空间：在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若 = m， =n， = p，则 = .

A

B

C

E

F

15．已知双曲线 的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，

△OAF的面积为 (O为坐标原点)，则双曲线的两条渐近线的夹角为 60°

16．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，假如函数f (x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：① ；② ；③ ；④ 其中是一阶格点函数的有 ①②④ .（填上所有满足题意的序号）

17．已知△ABC，若对任意t∈R，≥，则C

A．∠A=900 B．∠B＝900 C．∠C＝900 D．∠A＝∠B＝∠C＝600

18．等差数列 的前 项和为 ，公差 . 若存在正整数 ，使得 ，则当 （ ）时，有 （填“>”、“<”、“=”）．

(6)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，则 eq \f(S1,a1)， eq \f(S2,a2)，…， eq \f(S12,a12) 中最大的是 B

(A) eq \f(S1,a1) (B) eq \f(S6,a6) (C) eq \f(S7,a7) (D) eq \f(S12,a12)

19．定义在N*上的函数 满足：f(0) = 2，f(1) = 3，

且 ．

（Ⅰ）求f(n)（nÎN*）；

（Ⅱ）求 ．

（Ⅰ）由题意： ，所以有： ，又 ，所以 ，即 ，故 ．

（Ⅱ） ．

20．已知数列{an}满足a1=1，a2=－13， \* MERGEFORMAT

（Ⅰ）设 \* MERGEFORMAT 的通项公式；

（Ⅱ）求n为何值时， \* MERGEFORMAT 最小（不需要求 \* MERGEFORMAT 的最小值）

解：（I） \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT

即数列{bn}的通项公式为 \* MERGEFORMAT

（Ⅱ）若an最小，则 \* MERGEFORMAT

\* MERGEFORMAT 注重n是正整数，解得8≤n≤9

∴当n=8或n=9时，an的值相等并最小

21．已知函数f(x)=x3 ax2 bx c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0．

　 （Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

　 （Ⅱ)设数列{an}满足条件：a1∈(1,2)，an 1=f (an)

求证：(a1－ a2)·(a3－1) (a2－ a3)·(a4－1) … (an－ an 1)·(an 2－1)＜1

解：(Ⅰ)由f(x)=x3 ax2 bx c关于点(1,1)成中心对称，所以

x3 ax2 bx c (2－x)3 a(2－x)2 b(2－x) c=2

对一切实数x恒成立．得：a=－3，b c=3，

对由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表达式为：f(x)= x3－3x2 3x．

(Ⅱ) an 1=f (an)= an 3－3 an 2 3 an (1)

令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn 1= ，bn= ，

∴ 1＞bn ＞bn 1 ＞0

(a1－a2)·(a3－1) (a2－a3)·(a4－1) … (an－an 1)·(an 2－1)=

＜ =b1-bn 1＜b1＜1。

22．设函数 ．

（Ⅰ）假如 ,点P 曲线 上一个动点,求以P为切点的切线其斜率取最小值时的切线方程；

（Ⅱ）若 时, 恒成立,求 的取值范围．

．解(Ⅰ)设切线斜率为 则 当 时 最小值为 ．

所以切线方程为 即

(Ⅱ)由 >0 <0得．

函数 在 为增函数,在 减函数

(1) ,无解； (2) 无解；

(3) ，解得 ．综上所述 ．

23.已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足 （ ）， ， ， ．

（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；

（Ⅱ）点 在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且 ，若 ，求实数 的范围．

解：（Ⅰ）∵ ， ，

∴ MN垂直平分AF．

又 ，∴ 点M在AE上，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴 ，半焦距 ，

∴ ．

∴ 点M的轨迹W的方程为 （ ）．

（Ⅱ）设

∵ ， ，

∴ ∴

由点P、Q均在椭圆W上，

∴

消去 并整理，得 ，

由 及 ，解得 ．

24．已知函数 的定义域为 ，导数 满足0＜ ＜2 且 ，常数 为方程 的实数根，常数 为方程 的实数根．

（Ⅰ）若对任意 ，存在 ，使等式 成立．试问：方程 有几个实数根；

（Ⅱ）求证：当 时，总有 成立；

（Ⅲ）对任意 ，若满足 ，求证： 。

21、（ = 1 \* ROMAN I）假设方程 有异于 的实根m，即 ．则有

成立 ．

因为 ，所以必有 ，但这与 ≠1矛盾，

因此方程 不存在异于c1的实数根．

∴方程 只有一个实数根．

（II）令 ，

∴函数 为减函数．

又 ，

∴当 时， ，即 成立．

（III）不妨设 ， 为增函数，

即 ．又 ，∴函数 为减函数

即 ．

，

即 ．

，

．

25、平面直角坐标系中，已知 、 、 ，满足向量

与向量 共线，且点 都在斜率为6的同一条直线上．

（1）试用 与n来表示 ；

（2）设 ，且12＜a≤15，求数列 中的最小值的项．

解：（1） 点 都在斜率为6的同一条直线上，

，即 ，

于是数列 是等差数列，故 ．

， ，又 与 共线，

．

当n＝1时，上式也成立．

所以an ．

（2）把 代入上式，

得

12＜a≤15， ，

当n=4时， 取最小值， 最小值为a4=18－2a．

26．已知二次函数 为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切.

（1）求f（x）的解析式

（2）若函数 上是单调减函数，求k的取值范围.

（1）∵f（x 1）为偶函数，

∴

恒成立，

即（2a b）x=0恒成立，

∴2a b=0

∴b=－2a

∴

∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，

∴二次方程 有两相等实数根，

∴

（2）∵

故k的取值范围为

27．已知AB是抛物线 的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线.m是过点A且以向量 为方向向量的直线.

（1）若过点A的抛物线的切线与y轴相交于点C，求证：|AF|=|CF|；

（2）若 异于原点），直线OB与m相交于点P，求点P的轨迹方程；

（3）若AB过焦点F，分别过A，B的抛物线两切线相交于点T，求证： 且T在直线l上.

解：（1）设A（ ，因为导数 ，

则直线AC的方程：

由抛物线定义知，|AF|= ，又|CF|= －（－ ）= ，故|AF|=|CF|.

（2）设

由

得 . ①

直线OB方程： ②

直线m的方程: ， ③

由①②③得y=－p，故点P的轨迹方程为y=－p（x≠0）.

（3）设 则

因为AB是焦点弦，设AB的方程为：

得

由（1）知直线AT方程：

同理直线BT方程：

所以直线AB方程： ，

又因为AB过焦点， ，故T在准线上.

28．

如图，已知直线l与半径为1的⊙D相切于点C，动点P到直线l的距离为d，若

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若轨迹上的点P与同一平面上的点G、M分别满足

，

求以P、G、D为项点的三角形的面积.

解：（Ⅰ）

∴点P的轨迹是D为焦点，l为相应准线的椭圆.

由

以CD所在直线为x轴，以CD与⊙D的另一个交点O为坐标原点建立直角坐标系.

∴所求点P的轨迹方程为

（Ⅱ） G为椭圆的左焦点.

又

由题意， （否则P、G、M、D四点共线与已经矛盾）

又∵点P在椭圆上，

又

29．设无穷数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当

（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的 都成立，并对你给出的结果进行验证（或证实）；

（Ⅱ）若 ，其中 ，且记数列{bn}的前n项和Bn，证实：

解：（Ⅰ）令 ，

则无穷数列{an}可由a1 = 1， 给出.

显然，该数列满足 ，且

（Ⅱ）

又

30、已知函数 为偶函数，且其

图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为 。

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若 的值。

31．设 分别为 的重心和外心， ，且 。

（I）求点 的轨迹 的方程；

（II）若 是过点 且垂直于 轴的直线，是否存在直线 ，使得 与曲线 交于两个不同的点 ，且 恰被 平分？若存在，求出 的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

13．解：（I）设 ，则 ，因为 ，可得 ；又由 ，

可得点 的轨迹 的方程为 。

（II）假设存在直线 ，代入 并整理得

，

设 ，则 又

，解得 或

非凡地，若 ，代入 得， ，此方程无解，即 。

综上， 的斜率的取值范围是 或 。

18．已知△ABC中，三个内角是A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c=10，且

（

（I）求证：△ABC是直角三角形；

（II）设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°,.求四边形ABCP的面积.

第18题图

18．解：（Ⅰ）证实：根据正弦定理得，

整理为，sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A 2B= ∴ .

∴舍去A=B. ∴ 即 .

故△ABC是直角三角形.

（Ⅱ）解：由（1）可得：a=6，b=8.

在Rt△ACB中，

∴

=

=

连结PB，在Rt△APB中，AP=AB·cos∠PAB=5.

∴四边形ABCP的面积

=24 =18 .

32.已知三次函数 在 和 时取极值，且 ．

(1) 求函数 的表达式；

(2) 求函数 的单调区间和极值；

(3) 若函数 在区间 上的值域为 ，试求 、 应满足的条件．

解：(1) ，

由题意得， 是 的两个根，

解得， ．

再由 可得 ．

∴ ．

(2) ，

当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．

∴函数 在区间 上是增函数；
在区间 上是减函数；在区间 上是增函数．
函数 的极大值是 ，极小值是 ．

(3) 函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位，向上平移4 个单位得到的，

所以，函数 在区间 上的值域为 （ ）．

而 ，∴ ，即 ．

于是，函数 在区间 上的值域为 ．

令 得 或 ．

由 的单调性知， ，即 ．

综上所述， 、 应满足的条件是： ，且 ．

易错问题

1.定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 是锐角三角形的两个内角，则 的大小关系为____ (答： )；

2.函数 的图象与 轴的交点个数有____个(答：2)

3.如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴方程是__ (答： )．

4.(1)设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是____________.（答： ）。

(2)设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是____________.（答： ）。

5.已知函数 过点 作曲线 的切线，求此切线的方程（答： 或 ）。

6.已知函数 在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最__值__答：大， ）

7.函数 处有极小值10，则a b的值为____（答：－7）

8.已知 ， ，假如 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______（答： 或 且 ）；

9.若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为____（答： ）；

10.设集合 ， ， ，则 _____（答： ）　

11. ，假如 ，求 的取值。（答：a≤0）

已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ，使 ，求实数 的取值范围。　（答： ）

12．已知O是△ABC所在平面内的一定点，动点P满足 , ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的 （D）

A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心

13．如图，从双曲线 的左焦

点F引圆 的切线，切点为T，延长FT交

双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标

原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为 （B ）

A．|MO|－|MT| > b－a

B．|MO|－|MT| = b－a

C．|MO|－|MT| < b－a

D．不确定

14．如图， 所在的平面 和四边形 所在的平面 垂直，且 ， ， ， ， ，则点 在平面 内的轨迹是 （A ）

A．圆的一部分

B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分

D．抛物线的一部分

15若函数 的导函数为 ，则函数 的单调递减区间是（C ）

（A） （B） （C） （D）

16．定义在R上的函数 ，它同时满足具有下述性质：

①对任何

②对任何 则 0 .

17．设数列{an}是等比数列， ，则a4与a10的等比中项为 （ ）

A． B． C． D．

18.已知数列 的前 项和 为非零常数），则数列 为（ ）

（A）等差数列 （B）等比数列

（C）既不是等差数列，又不是等比数列 （D）既是等差数列又是等比数列

19．已知全集U=R，集合 ，则

A． B．

C．{（1，－2）} D． （ ）

20. 已知椭圆 的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l： 上，

当 取最大值时，点P的坐标为 （-10，-4）或（-2，4） 。

21．椭圆 的左右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P，F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则P到X轴距离为 1或 .

22．过 轴上一点 ，向圆 作切线，切点分别为 ，则 面积的最大值为 。

已知向量 是两个不共线的非零向量, 向量 满足 .则向量 用向量 一定可以表示为 （C）

A. 且 . B.

C. D. , 或

（5）若数列 中， ，且对任意的正整数 、 都有 ，则

（A） （B） （C） （D） ( C)

16.已知x∈N*，f(x)= ，其值域设为D，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，则其中属于集合D的元素 ___14,65 _ _.(写出所有可能的数值)

A

B

C

D

P

E

23、如图， 垂直正方形 所在的平面， ，动点 在线段 上，则二面角 的取值范围是

A、 B、
C、 D、

24．在△OAB（O为原点）中， ，若 ，则S△AOB的值为 （ ）

A． B． C． D．

25．若y＝3|x|(x∈[a，b])的值域为[1，9]，则a2＋b2－2a的取值范围是（　　）

A．[2，4]　 B．[4，16]　　C．[2，2 eq \r(3)]　　D．[4，12]

26.在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,

则 等于（ C ）

(A) (B) (C) (D)

27、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量 =（4，－3）（即点P的运动方向与 相同，且每秒移动的距离为| |个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（ D ）

（A）（－2，4） （B）（－30，25） （C）（5，－10） （D）（10，－5）

28、已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC

的距离乘积的最大值是 3 。

29、若函数 内为增函数，则实数a的取值范围（A ）

A． B． C． D．

30、如图，平面内的两条相交直线 和 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界）. 若 ，且点 落在第Ⅲ部分，则实数 满足( B )

(A) . (B) .

(C) . (D) .

31．已知双曲线 的焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且|PF1| =4|PF2|，则双曲线离心率的最大值为（ B ）

A． B． C．2 D．

8、某班有48名学生，某次数学考试，算术平均分为70分，标准差为s，后来发现成绩记录有误，某甲得80分却误记为50分，某乙得70分却误记为100分，更正后计算得标准差为s1，则s1和s之间的大小关系为　　…………………………………………………（D　　）

(A) s1＞s (B) s1＝s (C) s＋5＜s1 (D) s＞s1

15．在ABC中，若： EQ \F( eq \o(→,AB) eq \o(→,BC) ,3) = EQ \F( eq \o(→,BC) eq \o(→,CA) ,2) = EQ \F( eq \o(→,CA) eq \o(→,AB) ,2) ,则COSA等于_ __________.

4、已知等差数列{an}的首项a1=120，d=－4，记Sn= a1＋a2＋…＋an，若Sn≤an（n＞1），则n最小值为………………………………………………………………………………（B　　）

(A)60 (B)62 (C)63 (D)70

7．二元函数 定义域为 ，则函数 的定义域所表示的平面区域是（B）

9、一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 1 m 的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有 （ D）

(A) 个 (B) 个 C. 个 (D) 个

(18)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.

(Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证实am，am＋2，am＋1成等差数列；

(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判定它的真伪，并给出证实.

证 (Ⅰ) ∵Sm＋1＝Sm＋am＋1，Sm＋2＝Sm＋am＋1＋am＋2．

由已知2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，∴ 2(Sm＋am＋1＋am＋2)＝Sm＋(Sm＋am＋1)，

∴am＋2＝－ eq \f(1,2)am＋1，即数列{an}的公比q＝－ eq \f(1,2).

∴am＋1＝－ eq \f(1,2)am，am＋2＝ eq \f(1,4)am，∴2am＋2＝am＋am＋1，∴am，am＋2，am＋1成等差数列.

(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列.

设数列{an}的公比为q，∵am＋1＝amq，am＋2＝amq2．

由题设，2am＋2＝am＋am＋1，即2amq2＝am＋amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－ eq \f(1,2).

当q＝1时，A≠0，∴Sm， Sm＋2， Sm＋1不成等差数列.

逆命题为假.

19. (12分)设某物体一天中的温度T是时间t的函数， ， 其中温度的单位是 ，时间的单位是小时。t=0表示12:00, t取正值表示12:00点以后。若测得该物体在8:00的温度为8 ,12:00的温度为60 ,13:00的温度为58 ,且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率。

（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；

（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00,14:00）何时温度最高？并求出最高温度。

（1） 依题意得

解得：a=1,b=0,c=－3,d=60 故T(t)=t3-3t 60

（2） =0,得：

比较T（－2）,T（－1）,T（1）,T（2）知，在10:00 14:00这段时间中，该物体在11:00和14:00的温度最高，且最高温度为62 .