函数是高考数学中极为重要的内容，函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础.纵观近几年来的高考试题，函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，约含全卷的30%左右.近几年的考点主要体现在以下几个方面：

一、 纯粹函数内容（即单调性、奇偶性、定义域、值域、反函数）及映射概念的考查常以选择题、填空题出现，其能力要求比较低.

【例1】 （07年广东）已知函数 的定义域为M，g(x)= 的定义域为N，则M∩N=

（A） （B） （C） （D）

【解析】 M={x|x<1},N={x|x>-1},M∩N={x|-1<x<1}.答案为C.

【说明】 考查了函数的定义域.

【例2】 （07年全国）设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 （ ）

A． B． C． D．

【解析】 .答案为D.

【说明】 对数函数的最值问题.

【例3】(07年安徽)下列函数中，反函数是其自身的函数为 （ ）

(A) （B）

(C) (D)

【解析】在下列函数中，反函数是其自身的函数为 ，选D.

【说明】 考查了反函数的求法.

【例4】 （07年安徽）定义在R上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周期.若将方程 在闭区间 上的根的个数记为 ，则 可能为

（A）0 （B）1 （C）3 （D）5

【解析】 ， ，

∴ ，则 可能为5，选D。

【说明】 此题有函数的奇偶性，周期性，还和方程的根联系在一起.有一定的综合性.

【例5】（07年北京）对于函数①f(x)=lg(|x-2| 1),②f(x)=(x-2)2,③f(x)=cos(x 2),判定如下三个命题的真假：

命题甲：f(x 2)是偶函数；

命题乙：f(x)在（-∞，2）上是减函数，在（2， ∞）上是增函数；

命题丙：f(x 2)-f(x)在（-∞， ∞）上是增函数.

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是

A．①③ B.①②

C.③ D.②

【解析】 ①不满足丙，排除A、B.③不满足甲，C排除.

答案为D.

【说明】 三个函数综合在一块考查了它们性质，可谓是题小量不小啊.

二、函数的性质及图象变换多以选择题形式出现，并且低难度和高难度的试题都有可能出现.

【例6】（07年广东）客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是 ( )

【解析】 客车共走140 km,用时2.5 h，因此排除A、D，而B中在乙地休息时没有显示出来.答案为C.

【说明】 此题以图象说明路程—时间的关系，只要图看仔细了，应该不会出错.属于低难度题.

【例7】（07年湖北）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行

消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药

量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，

y与t的函数关系式为 （a为常数），

如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含

药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式

为 .

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低

到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放

开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.

【分析】（Ⅰ）两曲线交于点（0.1，1），故t∈（0，0.1]时，y=10t；t∈[0.1， ∞）时，将（0.1，1）代入 ，得 故所求函数关系为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当t∈[0.1， ∞）时，y为t的减函数.

令 .即 小时，也就是36分钟后，学生才能回到教室.

【说明】 此题考查了数学建模在实际问题上的应用.有一定的区分度.

三、 函数的解答题，综合性较强，难度较大，要进行周密地分析、准确地计算来解决.

为 ，短半轴长为 ，计划将此钢板切割成等腰梯形的外形，下

底 是半椭圆的短轴，上底 的端点在椭圆上，记 ，梯形面积为 ．

（ = 1 \* ROMAN I）求面积 以 为自变量的函数式，并写出其定义域；

（ = 2 \* ROMAN II）求面积 的最大值．

解得， ，

所以，

　 ，定义域为 ．

（ = 2 \* ROMAN II）记 ，

则， ．

令 ，得 ．

因为当 时， ；当 时， ，

所以 是 的最大值．

因此，当 时， 也取得最大值，最大值为 ．

即梯形面积 的最大值为 ．

【说明】 该题以椭圆为载体，以函数思想为灵魂，以不等式、导数、三角函数等为工具，非常自然地将解析几何与导数、函数、方程、不等式、三角函数等重要数学基础知识有机交汇融为一体，无矫揉造作之嫌，是近年来较为成功的试题之一．

【例9】 (07年上海) 已知函数 ，常数 ．

（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．

【解答】 （1）当 时， ，

对任意 ， ，

为偶函数．

当 时， ，

取 ，得 ，

，

函数 既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）解法一：设 ，

，

要使函数 在 上为增函数，必须 恒成立．

，即 恒成立．

又 ， ．

的取值范围是 ．

解法二：当 时， ，显然在 为增函数．

当 时，反比例函数 在 为增函数，

在 为增函数．

当 时，同解法一．

【说明】 本题考查了函数的性质问题，尤其是单调性的定义法证实更要引起注重.