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方程(组)与不等式

 

[组图]圆的有关概念

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一、圆的定义
　　如图，在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径.
　　以点为圆心的圆，记作“⊙”，读作“圆”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　注意：
　　1．圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；
　　2．到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点都在圆上．
　　满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合．
　　圆是到定点的距离等于定长的点的集合．

二、数量描述点和圆的三种位置关系
　　若设圆O的半径为r，点P到圆心的距离为d
　　

三、圆的相关概念
　　1．圆心不变，半径不相等的所有圆叫做同心圆.如图1所示：
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 图1 　　　　　　　　　　　图2

　　2．半径相等的圆(能够互相重合的圆)叫做等圆.
　　同圆或等圆的半径相等.如图2.等圆与位置无关

　　3．弧的相关概念
　　(1)圆弧：圆上两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”，用符号“”表示，
　　　 以A、B为端点的弧记作，读作“弧AB”.如图3所示：
　　(2)半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆.
　　(3)优弧：大于半圆的弧叫做优弧：如图4，
　　　 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧：如图4，
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　 图3 　　　　　　　　图4
　　(4)在同圆和等圆当中，能够互相重合的弧叫做等弧.

　　4．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.(如图4中的∠COD)

　　5．弦的概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
　　　 经过圆心的弦叫做直径(如图4——直径AD).

四、垂径定理
　　利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．
　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
　　在这里注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
　　证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB．
　　　　　在Rt△OAM和Rt△OBM中，
　　　　　∵OA=OB，OM=OM，
　　　　　∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
　　　　　∴AM=BM．
　　　　　∴点A和点B关于CD对称．
　　　　　∵⊙O关于直径CD对称，
　　　　　∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
　　　　　∴=，=．
　　注：为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
　　即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：
　　如图，在⊙O中，
　　

　　1．如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF=CD=300m，OF=OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO，
　　解：连结OC，设弯路的半径为R m，则
　　　　OF=(R－90)m，∵OE⊥CD，
　　　　∴CF=CD=×600=300(m)．
　　　　据勾股定理，得
　　　　OC2=CF2＋OF2，
　　　　即R2=3002＋(R－90)2
　　　　解这个方程，得R=545．
　　　　∴这段弯路的半径为545m．
　　注：在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．

　　2．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：如下图示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE=AB=30cm．令⊙O的半径为R，则OA=R，OE=OF－EF=R－10．在Rt△AEO中，OA2=AE2＋OE2，即R2=302＋(R－10)2．解得R=50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　垂径定理的逆定理
　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB．
　　　　　在等腰△OAB中，∵AM=MB，
　　　　　∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．
　　　　　∵⊙O关于直径CD对称．
　　　　　∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
　　　　　∴=，=．

五、确定圆的条件
　　1．问题：
　　(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
　　(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？
　 　　与线段AB有什么关系？为什么？
　　(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这
　 　　样的圆？
　　答：
　　(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了
　 　　下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于
　 　　圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到
　 　　过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应
　 　　在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所
　 　　以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由
　 　　于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
　　(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两
　 　　点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平
　 　　分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
　 　　因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．

　　2．过不在同一条直线上的三点作圆．
作法 图示
1．连结AB、BC
2．分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG，DE和
FG相交于点O
3．以O为圆心，OA为半径作圆
⊙O就是所要求作的圆
　　因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．
　　由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
　　不在同一直线上的三个点确定一个圆．

　　3．有关定义
　　由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
　　外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．

　　3．已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
　　解：如下图．
　　　　　　　　　　　　　
　　　　O为外接圆的圆心，即外心．
　　　　锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，
　　　　钝角三角形的外心在三角形的外部．

来源：中国哲士网

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