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方程(组)与不等式(组)
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[组图]随机事件与概率的意义

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学习要求：
　　1．了解事件的分类和随机事件的意义，理解概率的意义，初步学会用频率、可能性大小来理解概率；
　　2．通过随机事件可能性大小的实验，培养学生良好的动手、动脑习惯；
　　3．由简单的生活实践，感受理论和实践的联系，体会数学来源于生活，又指导生活实践这一事实．

学习重点：
　　事件的分类，随机事件可能性大小的分析，概率意义的理解．

学习难点：
　　由实践归纳总结随机事件发生的可能性大小，初步学会用频率、可能性大小来估算概率．

学习内容分析及例题：
一、前言
　　世界上有很多事具有偶然性，人们不能事先判定这些事情是否会发生．随着人们的深入研究，发现许多偶然性事件的发生也是有规律可循的．在研究这些规律中产生了这个重要的数学概念．概率是用来描述事件发生的可能性的大小的一门科学．概率学的研究目的是提高对偶然性事件发生规律的认识．本章中概率的计算方法主要有列举法求概率和利用频率估计概率．

二、随机事件
　　1．问题 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．请考虑以下问题：投一次骰子，在骰子向上的一面上，
　　(1)可能出现哪些点数？
　　(2)出现的点数大于0吗？
　　(3)出现的点数会是7吗？
　　(4)出现的点数会是4吗？
　　为回答上面的问题，我们可以在同样条件下重复进行掷骰子试验(用计算机模拟试验)．从试验结果可以发现：
　　(1)每次掷骰子的结果不一定相同，从1到6每一个点数都有可能出现，所有可能的点数共有6种，但是事
　 　　先不能预料掷一次骰子会出现哪一种结果；
　　(2)出现的点数肯定大于0；
　　(3)出现的点数绝对不会是7；
　　(4)出现的点数可能是4，也可能不是4，事先无法确定．

　　2．事件的分类：有些事件发生与否是可以事先确定的，而有些事件发生与否则是不能事先确定的．
　　(1)在一定条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，称为必然事件．
　　(2)有的事件在每次试验中都不会发生，称为不可能事件．
　　(3)在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

　　必然事件和不可能事件可以依靠客观事实(经验、规律等)来判断；随机事件要用概率来估计可能性的大小．
　　1．判断下列事件的类型：
　　(1)掷骰子试验，出现的点数不大于6．(必然事件)
　　(2)抽签试验中，抽到的序号大于0．(必然事件)
　　(3)抽签试验中，抽到的序号是0．(不可能事件)
　　(4)掷骰子试验，出现的点数是7．(不可能事件)
　　(5)任意抛掷一枚硬币，“正面向上”．(偶然事件)
　　(6)在上午八点拨打查号台114，“线路能接通”．(偶然事件)
　　(7)度量五边形外角和，结果是720度．(不可能事件)

　　3．随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同．
　　问题 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球．
　　(1)这个球是白球还是黑球？
　　(2)如果这两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？
　　事实上，“摸出黑球”和“摸出白球”是两个随机事件，一次摸球可能发生“摸出黑球”，也可能发生“摸出白球”，事先不能确定哪个事件发生．但由于两种球的数量不同，所以事实上“摸出黑球”与“摸出白球”的可能性的大小是不一样的，“摸出黑球”的可能性大于“摸出白球”的可能性．
　　思考: 能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性大小相同？(只要黑球个数等于白球个数)

　　2．足球比赛前，由裁判员掷一枚质地均匀硬币，如果正面向上则由甲队首先开球，如果反面向上则由乙队首先开球．这种确定首先开球一方的做法对参赛的甲、乙两队公平吗？为什么？
　　解：公平；“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相同．

　　试验 从抛掷硬币问题说起
　　掷一枚硬币500次，整理获得的试验数据，并记录在表中：(可用计算机模拟试验)
抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
正面向上的频数m 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
正面向上的频率 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　　(1)根据上表中的数据，在图中标注出对应的点．
　　　　　　　　
　　(2)根据数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？
　　(3)历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，结果如下：
　　　 棣莫弗：抛掷2048次，正面向上1061次，频率0.518；
　　　 布丰：抛掷4040次，正面向上2048次，频率0.5069；
　　　 费勒：抛掷10000次，正面向上4979次，频率0.4979；
　　　 皮尔逊：抛掷12000次，正面向上6019次，频率0.5016；
　　　 皮尔逊：抛掷24000次，正面向上12012次，频率0.5005．
　　(4)观察：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势有何规律？
　　可以发现，“正面向上”的频率在0.5左右摆动；随着抛掷次数的增加，频率就呈现出一定的稳定性：在0.5左右摆动的幅度越来越小．
　　试验验证了猜想：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等，各占一半．

三、概率的意义
　　(1)定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(probability)，记为．
　　(2)性质：在n次试验中，事件A发生的频数m满足，所以，进而可知．
　　当A是必然事件时，，所以；即频率始终稳定地为1．
　　当A是不可能事件时，，所以；即频率始终稳定地为0．
　　事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，可能性越小，则概率越接近0．
　　(3)概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小．
　　概率是针对大量试验而言的，大量试验反应的规律并非在每次试验中一定存在．
　　例如，掷硬币“正面向上”的概率是0.5；但某人连掷硬币50次，结果只有10次正面向上的情况也是正常的．概率是并不保证掷2n次硬币一定有n次左右为正面向上，只是n越来越大时，正面向上的频率会越来越接近．
　　3．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 350
投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251
投中频率() 　 　 　 　 　 　 　
　　(1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；
　　(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？
　　解：(1)见下表：
投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 350
投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251
投中频率() 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
　　(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是0.5.

　　4．用前面掷硬币的试验方法，做掷骰子的试验，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率．
　　解：因为掷出1～6的可能性均等，所以掷出1点的概率是.

巩固练习：
　　1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是(　 )
　　A．让比赛更富有情趣 　　　B．让比赛更具有神秘色彩
　　C．体现比赛的公平性　　　 D．让比赛更有挑战性

　　2．掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是_______，7点向上的概率是_______．

　　3．小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率
　 　　是( 　)
　　A．0　　　 B．1 　　　C．0.5　　　 D．不能确定

　　4．下面4个说法中，正确的个数为_______．
　　(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．
　　(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没
　 　　有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．
　　(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．
　　(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小．

　　5．设盒子中有8个小球，其中红球3个，黄球4个，蓝球1个，若从中随即地取出1个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，事件C为“取出的是蓝球”，则______，______，_______．

　　6．某出版社对其发行的杂志的质量进行了5次“读者调查问卷”，结果如下：
被调查人数n 1001 1000 1004 1003 1000
满意人数m 999 998 1002 1002 1000
满意频率 　 　 　 　 　
　　(1)计算表中各个频率；
　　(2)读者对该杂志满意的概率约是多少？
　　(3)从中你能说明频率与概率的关系吗？

　　7．下列说法正确的是( )
　　A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生
　　B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生
　　C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生
　　D.不可能事件在一次试验中也可能发生

　　8．在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，请你写出这个实验中的一个可能事件：____________.

　　9．下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率
抛掷结果 5次 50次 300次 800次 3200次 6000次 9999次
出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006
出现正面的频率 20% 62% 45% 51% 49.4% 49.7% 50.1%
　　(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到一次正面，正面出现的频率是20%，那么，也
　 　　就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______.
　　(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_____次正面，正面出现的频率是_____；
　 　　那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_____次反面，反面出现的频率是______；
　　(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是_______.

　　10．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是(　　)
　　A.频率等于概率
　　B.当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近
　　C.当试验次数很大时，概率会稳定在频率附近
　　D.试验得到的频率与概率不可能相等

　　11．下列说法正确的是(　　)
　　A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点
　　B.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖
　　C.天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨
　　D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

　　12．下列说法正确的是( 　)
　　A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1
　　B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业
　　C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，所以从袋中取至少
　　　100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)
　　D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面

参考答案：
　　1.C 　2.，0 　3.C 　4.0
　　5.，，
　　6.(1)见下表：
被调查人数n 1001 1000 1004 1003 1000
满意人数m 999 998 1002 1002 1000
满意频率 0.998 0.998 0.998 0.999 1.000
　　(2)读者对该杂志满意的概率约是0.998；
　　(3)概率是通过大量重复试验中频率的稳定性得到的一个0～1的常数．
　　7. C
　　8.两个小球都为红色，或两个小球一红一白
　　9.(1)4，80% (2)5006，50.1%，4993，49.9% (3)
　　10.B 11.D 12.B

来源：中国哲士网

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