一、猜想、探究题：
1．已知圆P的圆心在反比例函数
图象上，并与
轴相交于A、B两点.且始终与
轴相切于定点C(0，1).(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；
(2)若二次函数图象的顶点为D，问当
为何值时，四边形ADBP为菱形.
2．如图，抛物线
经过△ABC的三个顶点，已知BC∥轴，点A在轴上，点C在轴上，且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴；
(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
(3)探究：若点P是抛物线对称轴上且在
轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.
3．已知抛物线
(
为常数)经过点(0，4).(1)求
的值；(2)将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线，已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：
它的对称轴(设为直线
)与平移前的抛物线的对称轴(设为直线
)关于轴对称；它所对应的函数的最小值为-8．
①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与
轴相切，又与直线相交?若存在，请求出点P的坐标,并求出直线
被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在,请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(-1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与
轴的正半轴交于点C．(1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式．
(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式．
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
二、动态几何：
5．如图，已知抛物线
的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，抛物线的对称轴与轴交于点D．点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．(1)求点B和点C的坐标；
(2)设当点M运动了
(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
(3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形?若存在，求出点Q的坐标，若不
存在，说明理由．
6．如图，直线
与轴交于点A，与轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A，C和点B(-1，0)．(1)求该二次函数的关系式；
(2)设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
(3)有两动点D，E同时从点O出发，其中点D以每秒
个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停
止运动．设D，E同时从点O出发
秒时，△ODE的面积为S．①请问D，E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时
的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于
的函数关系式，并写出自变量的取值范围；③设
是②中函数S的最大值，那么=________________.
参考答案：
一、猜想、探究题：
1．解：(1)连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥
轴，垂足为H.∵ ⊙P与
轴相切于点C(0，1)，∴ PC⊥
轴.∵ P点在反比例函数
的图象上，∴ P点坐标为(k，1).
∴ PA=PC=k.
在Rt△APH中，
，∴
.∴
∵ 由⊙P交
轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB.∴
，∴
故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为
.可见该抛物线解析式为
又抛物线经过C(0，1)，B(
)，得：
解得
，
.∴ 抛物线解析式为
.
(2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(
，
)∴
若四边形ADBP为菱形.则必有PH=DH.
∵ PH=1， ∴
.又∵
，∴ 
∴ 当
取
时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形.
2．解：(1)抛物线的对称轴
；(2)A(-3，0) B(5，4) C(0，4)
把点A坐标代入
中，解得
∴
；(3)存在符合条件的点P共有3个.
以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与
轴交于N，与CB交于M.过点B作BQ⊥
轴于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，
.①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：
.∴
在
中，
∴
；②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：
在
中，
∴
；③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于
，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.过点
作
垂直轴，垂足为K，显然
∴
∵
∴ 
于是
∴
.3．解：(1)依题意得：
，解得
；(2)①由(1)得：
，∴ 对称轴为直线
依题意平移后的抛物线的对称轴为直线
故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为
∵ 此函数最小值为-8， ∴
即平移后的抛物线所对应的函数关系式为
；②存在.理由如下：
由①知平移后的抛物线的对称轴为直线
当点P在
轴上方时，∵⊙P与轴相切，故令
，解得
此时点
，
与直线
之距均为
，∵
， ∴ ⊙
，⊙
均与直线相离.故点
，不合题意，应舍去.当点P在
轴下方时，∵ ⊙P与轴相切，故令
，解得
此时点
，
与直线之距均为
∵
， ∴ ⊙，⊙
均与直线相交，故点
，符合题意.此时弦
综上，点P的坐标为
或
，直线
被⊙P所截得的弦AB的长为4.4．解：(1)连结PC. ∵ A(4，0)，B(-1，0)，∴ AB=5.
∵ P是AB的中点，且是⊙P的圆心，
∴
，
∴
∴ C(0，2).
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为
，∴
. ∴ 
.∴ 抛物线解析式为
.即
(2)将
配方，得
，∴ 顶点
.设直线MC为
，则有
解得
∴ 直线MC为
(3)直线MC与⊙P相切.
证明：设MC与
轴交于点N，在
中，令
，得
.∴
，
，
.∴
∴ ∠PCN=90°.
∴ MC与⊙P相切.
二、动态几何：
5．解：(1)把
代入得点C的坐标为C(0，2)，把
代入得点B的坐标为B(3，0)；(2)连结OP，设点P的坐标为
∵ 点M运动到B点上停止，∴
∴
；(3)存在.
①若
∵
，
∴
∴ 
∴
∴
所以点Q的坐标为
.②若
∵ △BQM∽△BCO，
∴
∴
∴ 
∵
∴ 
∴
∴ 
所以点Q的坐标为
.6．解：(1)令
，则
；令
则
. ∴ 
∵ 二次函数的图象过点C(0，4)
∴ 可设二次函数的关系式为
又∵ 该函数图象过点A(3，0)，B(-1，0)
∴
解之，得
，
.∴ 所求二次函数的关系式为
；(2)∵
∴ 顶点M的坐标为
过点M作
轴于F∴
∴ 四边形AOCM的面积为10；
(3)①不存在DE∥OC
∵ 若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，
此时
，在Rt△AOC中，AC=5.设点E的坐标为
∴ 
，∴ 
∵
，∴
∴ 
∵
，不满足
∴ 不存在
②根据题意得D，E两点相遇的时间为
(秒)现分情况讨论如下：
i)当
时，
；ii)当
时，设点E的坐标为
∴
， ∴ 
∴
；iii)当
时，设点E的坐标为
，类似ii可得
设点D的坐标为
∴
，∴
∴
；③
.
